Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 107380 / 42100
↖ ↑ ↗
← N 53.975474°
E114.927979°		 ← 179.59 m → N 53.975474°
E114.930725°		 →
↑
179.60 m
↓
↑
179.60 m
↓
N 53.973859°
E114.927979°		 ← 179.60 m →
32 255 m²		 N 53.973859°
E114.930725°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 107380 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42100 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.819248199462891 y=0.321201324462891 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.819248199462891 × 217)
    floor (0.819248199462891 × 131072)
    floor (107380.5)     		tx = 107380
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.321201324462891 × 217)
    floor (0.321201324462891 × 131072)
    floor (42100.5)     		ty = 42100
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 107380 / 42100 ti = "17/107380/42100"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/107380/42100.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 107380 ÷ 217
    107380 ÷ 131072     		x = 0.819244384765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42100 ÷ 217
    42100 ÷ 131072     		y = 0.321197509765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.819244384765625 × 2 - 1) × π
    0.63848876953125 × 3.1415926535     		Λ = 2.00587163
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.321197509765625 × 2 - 1) × π
    0.35760498046875 × 3.1415926535     		Φ = 1.12344917949564
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.00587163} λ = 2.00587163}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.12344917949564))-π/2
    2×atan(3.07544368758571)-π/2
    2×1.2564230339468-π/2
    2.5128460678936-1.57079632675     		φ = 0.94204974
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.00587163} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 114.927979°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.94204974 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 53.975474°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 107380 KachelY 42100 2.00587163 0.94204974 114.927979 53.975474
    Oben rechts KachelX + 1 107381 KachelY 42100 2.00591956 0.94204974 114.930725 53.975474
    Unten links KachelX 107380 KachelY + 1 42101 2.00587163 0.94202155 114.927979 53.973859
    Unten rechts KachelX + 1 107381 KachelY + 1 42101 2.00591956 0.94202155 114.930725 53.973859
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.94204974-0.94202155) × R
    2.81899999999835e-05 × 6371000     		dl = 179.598489999895m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.94204974-0.94202155) × R
    2.81899999999835e-05 × 6371000     		dr = 179.598489999895m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.00587163-2.00591956) × cos(0.94204974) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.588131503072151 × 6371000     		do = 179.593029685173m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.00587163-2.00591956) × cos(0.94202155) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.588154301932697 × 6371000     		du = 179.599991591511m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.94204974)-sin(0.94202155))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.588131503072151-0.588154301932697)×R²
    abs(2.00591956-2.00587163)×2.27988605457918e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.27988605457918e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.27988605457918e-05×40589641000000     		ar = 32255.2621222223m²