Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 10738 / 15889
↖ ↑ ↗
← N 67.573622°
W121.014404°		 ← 233.04 m → N 67.573622°
W121.008911°		 →
↑
233.05 m
↓
↑
233.05 m
↓
N 67.571526°
W121.014404°		 ← 233.06 m →
54 312 m²		 N 67.571526°
W121.008911°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 10738 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15889 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.163856506347656 y=0.242454528808594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.163856506347656 × 216)
    floor (0.163856506347656 × 65536)
    floor (10738.5)     		tx = 10738
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.242454528808594 × 216)
    floor (0.242454528808594 × 65536)
    floor (15889.5)     		ty = 15889
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 10738 / 15889 ti = "16/10738/15889"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/10738/15889.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 10738 ÷ 216
    10738 ÷ 65536     		x = 0.163848876953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15889 ÷ 216
    15889 ÷ 65536     		y = 0.242446899414062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.163848876953125 × 2 - 1) × π
    -0.67230224609375 × 3.1415926535     		Λ = -2.11209980
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.242446899414062 × 2 - 1) × π
    0.515106201171875 × 3.1415926535     		Φ = 1.61825385737386
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.11209980} λ = -2.11209980}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.61825385737386))-π/2
    2×atan(5.04427459915827)-π/2
    2×1.37508925812699-π/2
    2.75017851625398-1.57079632675     		φ = 1.17938219
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.11209980} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -121.014404°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.17938219 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 67.573622°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 10738 KachelY 15889 -2.11209980 1.17938219 -121.014404 67.573622
    Oben rechts KachelX + 1 10739 KachelY 15889 -2.11200392 1.17938219 -121.008911 67.573622
    Unten links KachelX 10738 KachelY + 1 15890 -2.11209980 1.17934561 -121.014404 67.571526
    Unten rechts KachelX + 1 10739 KachelY + 1 15890 -2.11200392 1.17934561 -121.008911 67.571526
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.17938219-1.17934561) × R
    3.65800000001748e-05 × 6371000     		dl = 233.051180001114m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.17938219-1.17934561) × R
    3.65800000001748e-05 × 6371000     		dr = 233.051180001114m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.11209980--2.11200392) × cos(1.17938219) × R
    9.58800000003812e-05 × 0.381495982473626 × 6371000     		do = 233.037385508995m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.11209980--2.11200392) × cos(1.17934561) × R
    9.58800000003812e-05 × 0.381529795691152 × 6371000     		du = 233.058040362965m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.17938219)-sin(1.17934561))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.381495982473626-0.381529795691152)×R²
    abs(-2.11200392--2.11209980)×3.38132175263794e-05×R²
    9.58800000003812e-05×3.38132175263794e-05×6371000²
    9.58800000003812e-05×3.38132175263794e-05×40589641000000     		ar = 54312.044502626m²