Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 107378 / 41948
↖ ↑ ↗
← N 54.220285°
E114.922485°		 ← 178.57 m → N 54.220285°
E114.925232°		 →
↑
178.58 m
↓
↑
178.58 m
↓
N 54.218679°
E114.922485°		 ← 178.58 m →
31 890 m²		 N 54.218679°
E114.925232°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 107378 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41948 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.819232940673828 y=0.320041656494141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.819232940673828 × 217)
    floor (0.819232940673828 × 131072)
    floor (107378.5)     		tx = 107378
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.320041656494141 × 217)
    floor (0.320041656494141 × 131072)
    floor (41948.5)     		ty = 41948
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 107378 / 41948 ti = "17/107378/41948"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/107378/41948.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 107378 ÷ 217
    107378 ÷ 131072     		x = 0.819229125976562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41948 ÷ 217
    41948 ÷ 131072     		y = 0.320037841796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.819229125976562 × 2 - 1) × π
    0.638458251953125 × 3.1415926535     		Λ = 2.00577575
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.320037841796875 × 2 - 1) × π
    0.35992431640625 × 3.1415926535     		Φ = 1.13073558823788
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.00577575} λ = 2.00577575}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.13073558823788))-π/2
    2×atan(3.0979344663546)-π/2
    2×1.25855940966919-π/2
    2.51711881933837-1.57079632675     		φ = 0.94632249
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.00577575} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 114.922485°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.94632249 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 54.220285°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 107378 KachelY 41948 2.00577575 0.94632249 114.922485 54.220285
    Oben rechts KachelX + 1 107379 KachelY 41948 2.00582369 0.94632249 114.925232 54.220285
    Unten links KachelX 107378 KachelY + 1 41949 2.00577575 0.94629446 114.922485 54.218679
    Unten rechts KachelX + 1 107379 KachelY + 1 41949 2.00582369 0.94629446 114.925232 54.218679
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.94632249-0.94629446) × R
    2.80300000000677e-05 × 6371000     		dl = 178.579130000431m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.94632249-0.94629446) × R
    2.80300000000677e-05 × 6371000     		dr = 178.579130000431m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.00577575-2.00582369) × cos(0.94632249) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.58467049301455 × 6371000     		do = 178.573417985017m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.00577575-2.00582369) × cos(0.94629446) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.58469323270718 × 6371000     		du = 178.580363272466m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.94632249)-sin(0.94629446))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.58467049301455-0.58469323270718)×R²
    abs(2.00582369-2.00577575)×2.27396926296697e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.27396926296697e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.27396926296697e-05×40589641000000     		ar = 31890.1057687527m²