Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 107377 / 100415
↖ ↑ ↗
← S 68.719444°
E114.919739°		 ← 110.83 m → S 68.719444°
E114.922485°		 →
↑
110.86 m
↓
↑
110.86 m
↓
S 68.720440°
E114.919739°		 ← 110.82 m →
12 285 m²		 S 68.720440°
E114.922485°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 107377 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 100415 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.819225311279297 y=0.766109466552734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.819225311279297 × 217)
    floor (0.819225311279297 × 131072)
    floor (107377.5)     		tx = 107377
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.766109466552734 × 217)
    floor (0.766109466552734 × 131072)
    floor (100415.5)     		ty = 100415
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 107377 / 100415 ti = "17/107377/100415"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/107377/100415.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 107377 ÷ 217
    107377 ÷ 131072     		x = 0.819221496582031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 100415 ÷ 217
    100415 ÷ 131072     		y = 0.766105651855469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.819221496582031 × 2 - 1) × π
    0.638442993164062 × 3.1415926535     		Λ = 2.00572782
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.766105651855469 × 2 - 1) × π
    -0.532211303710938 × 3.1415926535     		Φ = -1.67199112184794
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.00572782} λ = 2.00572782}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.67199112184794))-π/2
    2×atan(0.187872615704976)-π/2
    2×0.185707886519055-π/2
    0.37141577303811-1.57079632675     		φ = -1.19938055
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.00572782} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 114.919739°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.19938055 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.719444°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 107377 KachelY 100415 2.00572782 -1.19938055 114.919739 -68.719444
    Oben rechts KachelX + 1 107378 KachelY 100415 2.00577575 -1.19938055 114.922485 -68.719444
    Unten links KachelX 107377 KachelY + 1 100416 2.00572782 -1.19939795 114.919739 -68.720440
    Unten rechts KachelX + 1 107378 KachelY + 1 100416 2.00577575 -1.19939795 114.922485 -68.720440
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.19938055--1.19939795) × R
    1.73999999999452e-05 × 6371000     		dl = 110.855399999651m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.19938055--1.19939795) × R
    1.73999999999452e-05 × 6371000     		dr = 110.855399999651m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.00572782-2.00577575) × cos(-1.19938055) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.362935036529903 × 6371000     		do = 110.826579512963m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.00572782-2.00577575) × cos(-1.19939795) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.362918822903626 × 6371000     		du = 110.82162848713m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.19938055)-sin(-1.19939795))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.362935036529903-0.362918822903626)×R²
    abs(2.00577575-2.00572782)×1.62136262771839e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.62136262771839e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.62136262771839e-05×40589641000000     		ar = 12285.4503789679m²