Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 107376 / 41972
↖ ↑ ↗
← N 54.181726°
E114.916992°		 ← 178.74 m → N 54.181726°
E114.919739°		 →
↑
178.71 m
↓
↑
178.71 m
↓
N 54.180119°
E114.916992°		 ← 178.75 m →
31 943 m²		 N 54.180119°
E114.919739°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 107376 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41972 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.819217681884766 y=0.320224761962891 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.819217681884766 × 217)
    floor (0.819217681884766 × 131072)
    floor (107376.5)     		tx = 107376
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.320224761962891 × 217)
    floor (0.320224761962891 × 131072)
    floor (41972.5)     		ty = 41972
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 107376 / 41972 ti = "17/107376/41972"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/107376/41972.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 107376 ÷ 217
    107376 ÷ 131072     		x = 0.8192138671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41972 ÷ 217
    41972 ÷ 131072     		y = 0.320220947265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.8192138671875 × 2 - 1) × π
    0.638427734375 × 3.1415926535     		Λ = 2.00567988
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.320220947265625 × 2 - 1) × π
    0.35955810546875 × 3.1415926535     		Φ = 1.129585102647
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.00567988} λ = 2.00567988}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.129585102647))-π/2
    2×atan(3.09437238684304)-π/2
    2×1.25822292520156-π/2
    2.51644585040312-1.57079632675     		φ = 0.94564952
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.00567988} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 114.916992°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.94564952 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 54.181726°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 107376 KachelY 41972 2.00567988 0.94564952 114.916992 54.181726
    Oben rechts KachelX + 1 107377 KachelY 41972 2.00572782 0.94564952 114.919739 54.181726
    Unten links KachelX 107376 KachelY + 1 41973 2.00567988 0.94562147 114.916992 54.180119
    Unten rechts KachelX + 1 107377 KachelY + 1 41973 2.00572782 0.94562147 114.919739 54.180119
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.94564952-0.94562147) × R
    2.80500000000572e-05 × 6371000     		dl = 178.706550000364m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.94564952-0.94562147) × R
    2.80500000000572e-05 × 6371000     		dr = 178.706550000364m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.00567988-2.00572782) × cos(0.94564952) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.585216321531311 × 6371000     		do = 178.740128063662m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.00567988-2.00572782) × cos(0.94562147) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.585239066406951 × 6371000     		du = 178.747074934135m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.94564952)-sin(0.94562147))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.585216321531311-0.585239066406951)×R²
    abs(2.00572782-2.00567988)×2.27448756392468e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.27448756392468e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.27448756392468e-05×40589641000000     		ar = 31942.6523606724m²