Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 107375 / 41949
↖ ↑ ↗
← N 54.218679°
E114.914245°		 ← 178.58 m → N 54.218679°
E114.916992°		 →
↑
178.52 m
↓
↑
178.52 m
↓
N 54.217073°
E114.914245°		 ← 178.59 m →
31 880 m²		 N 54.217073°
E114.916992°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 107375 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41949 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.819210052490234 y=0.320049285888672 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.819210052490234 × 217)
    floor (0.819210052490234 × 131072)
    floor (107375.5)     		tx = 107375
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.320049285888672 × 217)
    floor (0.320049285888672 × 131072)
    floor (41949.5)     		ty = 41949
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 107375 / 41949 ti = "17/107375/41949"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/107375/41949.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 107375 ÷ 217
    107375 ÷ 131072     		x = 0.819206237792969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41949 ÷ 217
    41949 ÷ 131072     		y = 0.320045471191406
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.819206237792969 × 2 - 1) × π
    0.638412475585938 × 3.1415926535     		Λ = 2.00563194
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.320045471191406 × 2 - 1) × π
    0.359909057617188 × 3.1415926535     		Φ = 1.13068765133826
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.00563194} λ = 2.00563194}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.13068765133826))-π/2
    2×atan(3.09778596454044)-π/2
    2×1.25854539575137-π/2
    2.51709079150274-1.57079632675     		φ = 0.94629446
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.00563194} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 114.914245°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.94629446 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 54.218679°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 107375 KachelY 41949 2.00563194 0.94629446 114.914245 54.218679
    Oben rechts KachelX + 1 107376 KachelY 41949 2.00567988 0.94629446 114.916992 54.218679
    Unten links KachelX 107375 KachelY + 1 41950 2.00563194 0.94626644 114.914245 54.217073
    Unten rechts KachelX + 1 107376 KachelY + 1 41950 2.00567988 0.94626644 114.916992 54.217073
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.94629446-0.94626644) × R
    2.80199999999065e-05 × 6371000     		dl = 178.515419999404m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.94629446-0.94626644) × R
    2.80199999999065e-05 × 6371000     		dr = 178.515419999404m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.00563194-2.00567988) × cos(0.94629446) × R
    4.79400000004127e-05 × 0.58469323270718 × 6371000     		do = 178.58036327412m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.00563194-2.00567988) × cos(0.94626644) × R
    4.79400000004127e-05 × 0.584715963828047 × 6371000     		du = 178.587305943532m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.94629446)-sin(0.94626644))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.58469323270718-0.584715963828047)×R²
    abs(2.00567988-2.00563194)×2.27311208664815e-05×R²
    4.79400000004127e-05×2.27311208664815e-05×6371000²
    4.79400000004127e-05×2.27311208664815e-05×40589641000000     		ar = 31879.9682424128m²