Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 107375 / 41945
↖ ↑ ↗
← N 54.225102°
E114.914245°		 ← 178.55 m → N 54.225102°
E114.916992°		 →
↑
178.58 m
↓
↑
178.58 m
↓
N 54.223496°
E114.914245°		 ← 178.56 m →
31 886 m²		 N 54.223496°
E114.916992°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 107375 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41945 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.819210052490234 y=0.320018768310547 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.819210052490234 × 217)
    floor (0.819210052490234 × 131072)
    floor (107375.5)     		tx = 107375
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.320018768310547 × 217)
    floor (0.320018768310547 × 131072)
    floor (41945.5)     		ty = 41945
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 107375 / 41945 ti = "17/107375/41945"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/107375/41945.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 107375 ÷ 217
    107375 ÷ 131072     		x = 0.819206237792969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41945 ÷ 217
    41945 ÷ 131072     		y = 0.320014953613281
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.819206237792969 × 2 - 1) × π
    0.638412475585938 × 3.1415926535     		Λ = 2.00563194
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.320014953613281 × 2 - 1) × π
    0.359970092773438 × 3.1415926535     		Φ = 1.13087939893674
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.00563194} λ = 2.00563194}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.13087939893674))-π/2
    2×atan(3.09838001451176)-π/2
    2×1.25860144815274-π/2
    2.51720289630548-1.57079632675     		φ = 0.94640657
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.00563194} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 114.914245°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.94640657 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 54.225102°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 107375 KachelY 41945 2.00563194 0.94640657 114.914245 54.225102
    Oben rechts KachelX + 1 107376 KachelY 41945 2.00567988 0.94640657 114.916992 54.225102
    Unten links KachelX 107375 KachelY + 1 41946 2.00563194 0.94637854 114.914245 54.223496
    Unten rechts KachelX + 1 107376 KachelY + 1 41946 2.00567988 0.94637854 114.916992 54.223496
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.94640657-0.94637854) × R
    2.80299999999567e-05 × 6371000     		dl = 178.579129999724m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.94640657-0.94637854) × R
    2.80299999999567e-05 × 6371000     		dr = 178.579129999724m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.00563194-2.00567988) × cos(0.94640657) × R
    4.79400000004127e-05 × 0.584602279293747 × 6371000     		do = 178.552583760516m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.00563194-2.00567988) × cos(0.94637854) × R
    4.79400000004127e-05 × 0.584625020364252 × 6371000     		du = 178.559529468804m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.94640657)-sin(0.94637854))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.584602279293747-0.584625020364252)×R²
    abs(2.00567988-2.00563194)×2.27410705054831e-05×R²
    4.79400000004127e-05×2.27410705054831e-05×6371000²
    4.79400000004127e-05×2.27410705054831e-05×40589641000000     		ar = 31886.3852485583m²