Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 107374 / 41944
↖ ↑ ↗
← N 54.226708°
E114.911499°		 ← 178.51 m → N 54.226708°
E114.914245°		 →
↑
178.52 m
↓
↑
178.52 m
↓
N 54.225102°
E114.911499°		 ← 178.52 m →
31 867 m²		 N 54.225102°
E114.914245°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 107374 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41944 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.819202423095703 y=0.320011138916016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.819202423095703 × 217)
    floor (0.819202423095703 × 131072)
    floor (107374.5)     		tx = 107374
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.320011138916016 × 217)
    floor (0.320011138916016 × 131072)
    floor (41944.5)     		ty = 41944
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 107374 / 41944 ti = "17/107374/41944"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/107374/41944.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 107374 ÷ 217
    107374 ÷ 131072     		x = 0.819198608398438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41944 ÷ 217
    41944 ÷ 131072     		y = 0.32000732421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.819198608398438 × 2 - 1) × π
    0.638397216796875 × 3.1415926535     		Λ = 2.00558401
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.32000732421875 × 2 - 1) × π
    0.3599853515625 × 3.1415926535     		Φ = 1.13092733583636
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.00558401} λ = 2.00558401}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.13092733583636))-π/2
    2×atan(3.09852854480351)-π/2
    2×1.25861545989066-π/2
    2.51723091978132-1.57079632675     		φ = 0.94643459
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.00558401} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 114.911499°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.94643459 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 54.226708°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 107374 KachelY 41944 2.00558401 0.94643459 114.911499 54.226708
    Oben rechts KachelX + 1 107375 KachelY 41944 2.00563194 0.94643459 114.914245 54.226708
    Unten links KachelX 107374 KachelY + 1 41945 2.00558401 0.94640657 114.911499 54.225102
    Unten rechts KachelX + 1 107375 KachelY + 1 41945 2.00563194 0.94640657 114.914245 54.225102
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.94643459-0.94640657) × R
    2.80200000000175e-05 × 6371000     		dl = 178.515420000111m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.94643459-0.94640657) × R
    2.80200000000175e-05 × 6371000     		dr = 178.515420000111m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.00558401-2.00563194) × cos(0.94643459) × R
    4.79299999995852e-05 × 0.584579545877294 × 6371000     		do = 178.508396824024m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.00558401-2.00563194) × cos(0.94640657) × R
    4.79299999995852e-05 × 0.584602279293747 × 6371000     		du = 178.515338746221m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.94643459)-sin(0.94640657))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.584579545877294-0.584602279293747)×R²
    abs(2.00563194-2.00558401)×2.27334164523141e-05×R²
    4.79299999995852e-05×2.27334164523141e-05×6371000²
    4.79299999995852e-05×2.27334164523141e-05×40589641000000     		ar = 31867.1210547265m²