Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 107374 / 100422
↖ ↑ ↗
← S 68.726420°
E114.911499°		 ← 110.79 m → S 68.726420°
E114.914245°		 →
↑
110.79 m
↓
↑
110.79 m
↓
S 68.727417°
E114.911499°		 ← 110.79 m →
12 275 m²		 S 68.727417°
E114.914245°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 107374 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 100422 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.819202423095703 y=0.766162872314453 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.819202423095703 × 217)
    floor (0.819202423095703 × 131072)
    floor (107374.5)     		tx = 107374
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.766162872314453 × 217)
    floor (0.766162872314453 × 131072)
    floor (100422.5)     		ty = 100422
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 107374 / 100422 ti = "17/107374/100422"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/107374/100422.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 107374 ÷ 217
    107374 ÷ 131072     		x = 0.819198608398438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 100422 ÷ 217
    100422 ÷ 131072     		y = 0.766159057617188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.819198608398438 × 2 - 1) × π
    0.638397216796875 × 3.1415926535     		Λ = 2.00558401
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.766159057617188 × 2 - 1) × π
    -0.532318115234375 × 3.1415926535     		Φ = -1.67232668014528
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.00558401} λ = 2.00558401}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.67232668014528))-π/2
    2×atan(0.187809584065919)-π/2
    2×0.185647003107291-π/2
    0.371294006214582-1.57079632675     		φ = -1.19950232
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.00558401} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 114.911499°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.19950232 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.726420°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 107374 KachelY 100422 2.00558401 -1.19950232 114.911499 -68.726420
    Oben rechts KachelX + 1 107375 KachelY 100422 2.00563194 -1.19950232 114.914245 -68.726420
    Unten links KachelX 107374 KachelY + 1 100423 2.00558401 -1.19951971 114.911499 -68.727417
    Unten rechts KachelX + 1 107375 KachelY + 1 100423 2.00563194 -1.19951971 114.914245 -68.727417
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.19950232--1.19951971) × R
    1.7390000000006e-05 × 6371000     		dl = 110.791690000038m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.19950232--1.19951971) × R
    1.7390000000006e-05 × 6371000     		dr = 110.791690000038m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.00558401-2.00563194) × cos(-1.19950232) × R
    4.79299999995852e-05 × 0.362821566794471 × 6371000     		do = 110.791930163181m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.00558401-2.00563194) × cos(-1.19951971) × R
    4.79299999995852e-05 × 0.362805361717994 × 6371000     		du = 110.786981748132m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.19950232)-sin(-1.19951971))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.362821566794471-0.362805361717994)×R²
    abs(2.00563194-2.00558401)×1.62050764763721e-05×R²
    4.79299999995852e-05×1.62050764763721e-05×6371000²
    4.79299999995852e-05×1.62050764763721e-05×40589641000000     		ar = 12274.5510597468m²