Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 107373 / 100413
↖ ↑ ↗
← S 68.717450°
E114.908752°		 ← 110.86 m → S 68.717450°
E114.911499°		 →
↑
110.86 m
↓
↑
110.86 m
↓
S 68.718447°
E114.908752°		 ← 110.85 m →
12 289 m²		 S 68.718447°
E114.911499°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 107373 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 100413 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.819194793701172 y=0.766094207763672 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.819194793701172 × 217)
    floor (0.819194793701172 × 131072)
    floor (107373.5)     		tx = 107373
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.766094207763672 × 217)
    floor (0.766094207763672 × 131072)
    floor (100413.5)     		ty = 100413
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 107373 / 100413 ti = "17/107373/100413"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/107373/100413.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 107373 ÷ 217
    107373 ÷ 131072     		x = 0.819190979003906
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 100413 ÷ 217
    100413 ÷ 131072     		y = 0.766090393066406
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.819190979003906 × 2 - 1) × π
    0.638381958007812 × 3.1415926535     		Λ = 2.00553607
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.766090393066406 × 2 - 1) × π
    -0.532180786132812 × 3.1415926535     		Φ = -1.6718952480487
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.00553607} λ = 2.00553607}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.6718952480487))-π/2
    2×atan(0.187890628629887)-π/2
    2×0.18572528527646-π/2
    0.371450570552919-1.57079632675     		φ = -1.19934576
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.00553607} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 114.908752°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.19934576 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.717450°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 107373 KachelY 100413 2.00553607 -1.19934576 114.908752 -68.717450
    Oben rechts KachelX + 1 107374 KachelY 100413 2.00558401 -1.19934576 114.911499 -68.717450
    Unten links KachelX 107373 KachelY + 1 100414 2.00553607 -1.19936316 114.908752 -68.718447
    Unten rechts KachelX + 1 107374 KachelY + 1 100414 2.00558401 -1.19936316 114.911499 -68.718447
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.19934576--1.19936316) × R
    1.74000000001673e-05 × 6371000     		dl = 110.855400001066m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.19934576--1.19936316) × R
    1.74000000001673e-05 × 6371000     		dr = 110.855400001066m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.00553607-2.00558401) × cos(-1.19934576) × R
    4.79400000004127e-05 × 0.362967454134788 × 6371000     		do = 110.859603275988m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.00553607-2.00558401) × cos(-1.19936316) × R
    4.79400000004127e-05 × 0.362951240728217 × 6371000     		du = 110.854651284288m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.19934576)-sin(-1.19936316))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.362967454134788-0.362951240728217)×R²
    abs(2.00558401-2.00553607)×1.62134065712083e-05×R²
    4.79400000004127e-05×1.62134065712083e-05×6371000²
    4.79400000004127e-05×1.62134065712083e-05×40589641000000     		ar = 12289.1111878921m²