Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 107372 / 100484
↖ ↑ ↗
← S 68.788119°
E114.906006°		 ← 110.51 m → S 68.788119°
E114.908752°		 →
↑
110.47 m
↓
↑
110.47 m
↓
S 68.789113°
E114.906006°		 ← 110.50 m →
12 208 m²		 S 68.789113°
E114.908752°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 107372 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 100484 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.819187164306641 y=0.766635894775391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.819187164306641 × 217)
    floor (0.819187164306641 × 131072)
    floor (107372.5)     		tx = 107372
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.766635894775391 × 217)
    floor (0.766635894775391 × 131072)
    floor (100484.5)     		ty = 100484
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 107372 / 100484 ti = "17/107372/100484"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/107372/100484.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 107372 ÷ 217
    107372 ÷ 131072     		x = 0.819183349609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 100484 ÷ 217
    100484 ÷ 131072     		y = 0.766632080078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.819183349609375 × 2 - 1) × π
    0.63836669921875 × 3.1415926535     		Λ = 2.00548813
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.766632080078125 × 2 - 1) × π
    -0.53326416015625 × 3.1415926535     		Φ = -1.67529876792172
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.00548813} λ = 2.00548813}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.67529876792172))-π/2
    2×atan(0.187252226165396)-π/2
    2×0.185108580383225-π/2
    0.37021716076645-1.57079632675     		φ = -1.20057917
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.00548813} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 114.906006°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.20057917 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.788119°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 107372 KachelY 100484 2.00548813 -1.20057917 114.906006 -68.788119
    Oben rechts KachelX + 1 107373 KachelY 100484 2.00553607 -1.20057917 114.908752 -68.788119
    Unten links KachelX 107372 KachelY + 1 100485 2.00548813 -1.20059651 114.906006 -68.789113
    Unten rechts KachelX + 1 107373 KachelY + 1 100485 2.00553607 -1.20059651 114.908752 -68.789113
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.20057917--1.20059651) × R
    1.73400000000878e-05 × 6371000     		dl = 110.47314000056m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.20057917--1.20059651) × R
    1.73400000000878e-05 × 6371000     		dr = 110.47314000056m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.00548813-2.00553607) × cos(-1.20057917) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.361817884655174 × 6371000     		do = 110.508495165969m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.00548813-2.00553607) × cos(-1.20059651) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.361801719406651 × 6371000     		du = 110.503557882976m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.20057917)-sin(-1.20059651))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.361817884655174-0.361801719406651)×R²
    abs(2.00553607-2.00548813)×1.61652485233255e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.61652485233255e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.61652485233255e-05×40589641000000     		ar = 12207.9477394024m²