Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 107372 / 100410
↖ ↑ ↗
← S 68.714459°
E114.906006°		 ← 110.87 m → S 68.714459°
E114.908752°		 →
↑
110.92 m
↓
↑
110.92 m
↓
S 68.715456°
E114.906006°		 ← 110.87 m →
12 298 m²		 S 68.715456°
E114.908752°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 107372 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 100410 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.819187164306641 y=0.766071319580078 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.819187164306641 × 217)
    floor (0.819187164306641 × 131072)
    floor (107372.5)     		tx = 107372
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.766071319580078 × 217)
    floor (0.766071319580078 × 131072)
    floor (100410.5)     		ty = 100410
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 107372 / 100410 ti = "17/107372/100410"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/107372/100410.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 107372 ÷ 217
    107372 ÷ 131072     		x = 0.819183349609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 100410 ÷ 217
    100410 ÷ 131072     		y = 0.766067504882812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.819183349609375 × 2 - 1) × π
    0.63836669921875 × 3.1415926535     		Λ = 2.00548813
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.766067504882812 × 2 - 1) × π
    -0.532135009765625 × 3.1415926535     		Φ = -1.67175143734984
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.00548813} λ = 2.00548813}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.67175143734984))-π/2
    2×atan(0.187917651255524)-π/2
    2×0.185751386327092-π/2
    0.371502772654185-1.57079632675     		φ = -1.19929355
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.00548813} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 114.906006°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.19929355 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.714459°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 107372 KachelY 100410 2.00548813 -1.19929355 114.906006 -68.714459
    Oben rechts KachelX + 1 107373 KachelY 100410 2.00553607 -1.19929355 114.908752 -68.714459
    Unten links KachelX 107372 KachelY + 1 100411 2.00548813 -1.19931096 114.906006 -68.715456
    Unten rechts KachelX + 1 107373 KachelY + 1 100411 2.00553607 -1.19931096 114.908752 -68.715456
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.19929355--1.19931096) × R
    1.74100000001065e-05 × 6371000     		dl = 110.919110000679m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.19929355--1.19931096) × R
    1.74100000001065e-05 × 6371000     		dr = 110.919110000679m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.00548813-2.00553607) × cos(-1.19929355) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.363016103012958 × 6371000     		do = 110.874461894576m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.00548813-2.00553607) × cos(-1.19931096) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.362999880618249 × 6371000     		du = 110.869507157668m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.19929355)-sin(-1.19931096))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.363016103012958-0.362999880618249)×R²
    abs(2.00553607-2.00548813)×1.62223947089979e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.62223947089979e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.62223947089979e-05×40589641000000     		ar = 12297.8218479249m²