Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 107371 / 100411
↖ ↑ ↗
← S 68.715456°
E114.903260°		 ← 110.85 m → S 68.715456°
E114.906006°		 →
↑
110.86 m
↓
↑
110.86 m
↓
S 68.716453°
E114.903260°		 ← 110.84 m →
12 288 m²		 S 68.716453°
E114.906006°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 107371 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 100411 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.819179534912109 y=0.766078948974609 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.819179534912109 × 217)
    floor (0.819179534912109 × 131072)
    floor (107371.5)     		tx = 107371
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.766078948974609 × 217)
    floor (0.766078948974609 × 131072)
    floor (100411.5)     		ty = 100411
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 107371 / 100411 ti = "17/107371/100411"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/107371/100411.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 107371 ÷ 217
    107371 ÷ 131072     		x = 0.819175720214844
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 100411 ÷ 217
    100411 ÷ 131072     		y = 0.766075134277344
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.819175720214844 × 2 - 1) × π
    0.638351440429688 × 3.1415926535     		Λ = 2.00544020
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.766075134277344 × 2 - 1) × π
    -0.532150268554688 × 3.1415926535     		Φ = -1.67179937424946
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.00544020} λ = 2.00544020}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.67179937424946))-π/2
    2×atan(0.187908643281848)-π/2
    2×0.185742685588258-π/2
    0.371485371176517-1.57079632675     		φ = -1.19931096
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.00544020} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 114.903260°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.19931096 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.715456°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 107371 KachelY 100411 2.00544020 -1.19931096 114.903260 -68.715456
    Oben rechts KachelX + 1 107372 KachelY 100411 2.00548813 -1.19931096 114.906006 -68.715456
    Unten links KachelX 107371 KachelY + 1 100412 2.00544020 -1.19932836 114.903260 -68.716453
    Unten rechts KachelX + 1 107372 KachelY + 1 100412 2.00548813 -1.19932836 114.906006 -68.716453
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.19931096--1.19932836) × R
    1.73999999999452e-05 × 6371000     		dl = 110.855399999651m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.19931096--1.19932836) × R
    1.73999999999452e-05 × 6371000     		dr = 110.855399999651m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.00544020-2.00548813) × cos(-1.19931096) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.362999880618249 × 6371000     		do = 110.846380435414m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.00544020-2.00548813) × cos(-1.19932836) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.362983667431467 × 6371000     		du = 110.841429543786m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.19931096)-sin(-1.19932836))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.362999880618249-0.362983667431467)×R²
    abs(2.00548813-2.00544020)×1.62131867820214e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.62131867820214e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.62131867820214e-05×40589641000000     		ar = 12287.6454254769m²