Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 107368 / 41976
↖ ↑ ↗
← N 54.175297°
E114.895019°		 ← 178.77 m → N 54.175297°
E114.897766°		 →
↑
178.77 m
↓
↑
178.77 m
↓
N 54.173689°
E114.895019°		 ← 178.77 m →
31 959 m²		 N 54.173689°
E114.897766°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 107368 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41976 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.819156646728516 y=0.320255279541016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.819156646728516 × 217)
    floor (0.819156646728516 × 131072)
    floor (107368.5)     		tx = 107368
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.320255279541016 × 217)
    floor (0.320255279541016 × 131072)
    floor (41976.5)     		ty = 41976
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 107368 / 41976 ti = "17/107368/41976"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/107368/41976.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 107368 ÷ 217
    107368 ÷ 131072     		x = 0.81915283203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41976 ÷ 217
    41976 ÷ 131072     		y = 0.32025146484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.81915283203125 × 2 - 1) × π
    0.6383056640625 × 3.1415926535     		Λ = 2.00529638
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.32025146484375 × 2 - 1) × π
    0.3594970703125 × 3.1415926535     		Φ = 1.12939335504852
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.00529638} λ = 2.00529638}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.12939335504852))-π/2
    2×atan(3.09377910525104)-π/2
    2×1.25816681392776-π/2
    2.51633362785551-1.57079632675     		φ = 0.94553730
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.00529638} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 114.895019°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.94553730 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 54.175297°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 107368 KachelY 41976 2.00529638 0.94553730 114.895019 54.175297
    Oben rechts KachelX + 1 107369 KachelY 41976 2.00534432 0.94553730 114.897766 54.175297
    Unten links KachelX 107368 KachelY + 1 41977 2.00529638 0.94550924 114.895019 54.173689
    Unten rechts KachelX + 1 107369 KachelY + 1 41977 2.00534432 0.94550924 114.897766 54.173689
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.94553730-0.94550924) × R
    2.80599999999964e-05 × 6371000     		dl = 178.770259999977m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.94553730-0.94550924) × R
    2.80599999999964e-05 × 6371000     		dr = 178.770259999977m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.00529638-2.00534432) × cos(0.94553730) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.585307314487222 × 6371000     		do = 178.767919654555m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.00529638-2.00534432) × cos(0.94550924) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.585330065628507 × 6371000     		du = 178.774868438718m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.94553730)-sin(0.94550924))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.585307314487222-0.585330065628507)×R²
    abs(2.00534432-2.00529638)×2.27511412843606e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.27511412843606e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.27511412843606e-05×40589641000000     		ar = 31959.0085963024m²