Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 107362 / 100474
↖ ↑ ↗
← S 68.778179°
E114.878540°		 ← 110.56 m → S 68.778179°
E114.881287°		 →
↑
110.54 m
↓
↑
110.54 m
↓
S 68.779173°
E114.878540°		 ← 110.55 m →
12 220 m²		 S 68.779173°
E114.881287°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 107362 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 100474 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.819110870361328 y=0.766559600830078 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.819110870361328 × 217)
    floor (0.819110870361328 × 131072)
    floor (107362.5)     		tx = 107362
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.766559600830078 × 217)
    floor (0.766559600830078 × 131072)
    floor (100474.5)     		ty = 100474
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 107362 / 100474 ti = "17/107362/100474"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/107362/100474.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 107362 ÷ 217
    107362 ÷ 131072     		x = 0.819107055664062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 100474 ÷ 217
    100474 ÷ 131072     		y = 0.766555786132812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.819107055664062 × 2 - 1) × π
    0.638214111328125 × 3.1415926535     		Λ = 2.00500876
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.766555786132812 × 2 - 1) × π
    -0.533111572265625 × 3.1415926535     		Φ = -1.67481939892552
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.00500876} λ = 2.00500876}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.67481939892552))-π/2
    2×atan(0.187342010595306)-π/2
    2×0.185195321902331-π/2
    0.370390643804661-1.57079632675     		φ = -1.20040568
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.00500876} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 114.878540°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.20040568 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.778179°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 107362 KachelY 100474 2.00500876 -1.20040568 114.878540 -68.778179
    Oben rechts KachelX + 1 107363 KachelY 100474 2.00505670 -1.20040568 114.881287 -68.778179
    Unten links KachelX 107362 KachelY + 1 100475 2.00500876 -1.20042303 114.878540 -68.779173
    Unten rechts KachelX + 1 107363 KachelY + 1 100475 2.00505670 -1.20042303 114.881287 -68.779173
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.20040568--1.20042303) × R
    1.73500000000271e-05 × 6371000     		dl = 110.536850000172m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.20040568--1.20042303) × R
    1.73500000000271e-05 × 6371000     		dr = 110.536850000172m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.00500876-2.00505670) × cos(-1.20040568) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.361979615052908 × 6371000     		do = 110.557891792377m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.00500876-2.00505670) × cos(-1.20042303) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.361963441571143 × 6371000     		du = 110.552951994741m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.20040568)-sin(-1.20042303))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.361979615052908-0.361963441571143)×R²
    abs(2.00505670-2.00500876)×1.61734817644699e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.61734817644699e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.61734817644699e-05×40589641000000     		ar = 12220.4480867814m²