Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 10736 / 7216
↖ ↑ ↗
← N 80.133635°
W121.025390°		 ← 104.66 m → N 80.133635°
W121.019897°		 →
↑
104.68 m
↓
↑
104.68 m
↓
N 80.132694°
W121.025390°		 ← 104.67 m →
10 956 m²		 N 80.132694°
W121.019897°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 10736 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7216 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.163825988769531 y=0.110115051269531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.163825988769531 × 216)
    floor (0.163825988769531 × 65536)
    floor (10736.5)     		tx = 10736
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.110115051269531 × 216)
    floor (0.110115051269531 × 65536)
    floor (7216.5)     		ty = 7216
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 10736 / 7216 ti = "16/10736/7216"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/10736/7216.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 10736 ÷ 216
    10736 ÷ 65536     		x = 0.163818359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7216 ÷ 216
    7216 ÷ 65536     		y = 0.110107421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.163818359375 × 2 - 1) × π
    -0.67236328125 × 3.1415926535     		Λ = -2.11229154
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.110107421875 × 2 - 1) × π
    0.77978515625 × 3.1415926535     		Φ = 2.44976731818335
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.11229154} λ = -2.11229154}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.44976731818335))-π/2
    2×atan(11.5856506353338)-π/2
    2×1.48469605296787-π/2
    2.96939210593574-1.57079632675     		φ = 1.39859578
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.11229154} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -121.025390°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39859578 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.133635°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 10736 KachelY 7216 -2.11229154 1.39859578 -121.025390 80.133635
    Oben rechts KachelX + 1 10737 KachelY 7216 -2.11219567 1.39859578 -121.019897 80.133635
    Unten links KachelX 10736 KachelY + 1 7217 -2.11229154 1.39857935 -121.025390 80.132694
    Unten rechts KachelX + 1 10737 KachelY + 1 7217 -2.11219567 1.39857935 -121.019897 80.132694
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39859578-1.39857935) × R
    1.64299999998452e-05 × 6371000     		dl = 104.675529999014m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39859578-1.39857935) × R
    1.64299999998452e-05 × 6371000     		dr = 104.675529999014m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.11229154--2.11219567) × cos(1.39859578) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.171350763091867 × 6371000     		do = 104.658950476677m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.11229154--2.11219567) × cos(1.39857935) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.171366950070472 × 6371000     		du = 104.668837285242m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39859578)-sin(1.39857935))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.171350763091867-0.171366950070472)×R²
    abs(-2.11219567--2.11229154)×1.61869786047264e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.61869786047264e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.61869786047264e-05×40589641000000     		ar = 10955.7485639681m²