Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 10736 / 15888
↖ ↑ ↗
← N 67.575717°
W121.025390°		 ← 232.99 m → N 67.575717°
W121.019897°		 →
↑
232.99 m
↓
↑
232.99 m
↓
N 67.573622°
W121.025390°		 ← 233.01 m →
54 287 m²		 N 67.573622°
W121.019897°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 10736 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15888 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.163825988769531 y=0.242439270019531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.163825988769531 × 216)
    floor (0.163825988769531 × 65536)
    floor (10736.5)     		tx = 10736
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.242439270019531 × 216)
    floor (0.242439270019531 × 65536)
    floor (15888.5)     		ty = 15888
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 10736 / 15888 ti = "16/10736/15888"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/10736/15888.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 10736 ÷ 216
    10736 ÷ 65536     		x = 0.163818359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15888 ÷ 216
    15888 ÷ 65536     		y = 0.242431640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.163818359375 × 2 - 1) × π
    -0.67236328125 × 3.1415926535     		Λ = -2.11229154
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.242431640625 × 2 - 1) × π
    0.51513671875 × 3.1415926535     		Φ = 1.6183497311731
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.11229154} λ = -2.11229154}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.6183497311731))-π/2
    2×atan(5.04475823611218)-π/2
    2×1.37510754505129-π/2
    2.75021509010259-1.57079632675     		φ = 1.17941876
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.11229154} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -121.025390°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.17941876 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 67.575717°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 10736 KachelY 15888 -2.11229154 1.17941876 -121.025390 67.575717
    Oben rechts KachelX + 1 10737 KachelY 15888 -2.11219567 1.17941876 -121.019897 67.575717
    Unten links KachelX 10736 KachelY + 1 15889 -2.11229154 1.17938219 -121.025390 67.573622
    Unten rechts KachelX + 1 10737 KachelY + 1 15889 -2.11219567 1.17938219 -121.019897 67.573622
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.17941876-1.17938219) × R
    3.65699999997915e-05 × 6371000     		dl = 232.987469998672m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.17941876-1.17938219) × R
    3.65699999997915e-05 × 6371000     		dr = 232.987469998672m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.11229154--2.11219567) × cos(1.17941876) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.381462177989466 × 6371000     		do = 232.992433033524m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.11229154--2.11219567) × cos(1.17938219) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.381495982473626 × 6371000     		du = 233.01308039902m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.17941876)-sin(1.17938219))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.381462177989466-0.381495982473626)×R²
    abs(-2.11219567--2.11229154)×3.38044841599605e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.38044841599605e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.38044841599605e-05×40589641000000     		ar = 54286.7227957618m²