Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 10735 / 7215
↖ ↑ ↗
← N 80.134577°
W121.030884°		 ← 104.66 m → N 80.134577°
W121.025390°		 →
↑
104.68 m
↓
↑
104.68 m
↓
N 80.133635°
W121.030884°		 ← 104.67 m →
10 956 m²		 N 80.133635°
W121.025390°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 10735 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7215 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.163810729980469 y=0.110099792480469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.163810729980469 × 216)
    floor (0.163810729980469 × 65536)
    floor (10735.5)     		tx = 10735
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.110099792480469 × 216)
    floor (0.110099792480469 × 65536)
    floor (7215.5)     		ty = 7215
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 10735 / 7215 ti = "16/10735/7215"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/10735/7215.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 10735 ÷ 216
    10735 ÷ 65536     		x = 0.163803100585938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7215 ÷ 216
    7215 ÷ 65536     		y = 0.110092163085938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.163803100585938 × 2 - 1) × π
    -0.672393798828125 × 3.1415926535     		Λ = -2.11238742
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.110092163085938 × 2 - 1) × π
    0.779815673828125 × 3.1415926535     		Φ = 2.44986319198259
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.11238742} λ = -2.11238742}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.44986319198259))-π/2
    2×atan(11.586761448925)-π/2
    2×1.48470426660432-π/2
    2.96940853320864-1.57079632675     		φ = 1.39861221
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.11238742} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -121.030884°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39861221 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.134577°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 10735 KachelY 7215 -2.11238742 1.39861221 -121.030884 80.134577
    Oben rechts KachelX + 1 10736 KachelY 7215 -2.11229154 1.39861221 -121.025390 80.134577
    Unten links KachelX 10735 KachelY + 1 7216 -2.11238742 1.39859578 -121.030884 80.133635
    Unten rechts KachelX + 1 10736 KachelY + 1 7216 -2.11229154 1.39859578 -121.025390 80.133635
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39861221-1.39859578) × R
    1.64300000000672e-05 × 6371000     		dl = 104.675530000428m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39861221-1.39859578) × R
    1.64300000000672e-05 × 6371000     		dr = 104.675530000428m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.11238742--2.11229154) × cos(1.39861221) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.171334576067007 × 6371000     		do = 104.659979365635m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.11238742--2.11229154) × cos(1.39859578) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.171350763091867 × 6371000     		du = 104.669867233728m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39861221)-sin(1.39859578))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.171334576067007-0.171350763091867)×R²
    abs(-2.11229154--2.11238742)×1.61870248602258e-05×R²
    9.58799999999371e-05×1.61870248602258e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×1.61870248602258e-05×40589641000000     		ar = 10955.85631918m²