Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 107347 / 41906
↖ ↑ ↗
← N 54.287675°
E114.837341°		 ← 178.28 m → N 54.287675°
E114.840088°		 →
↑
178.26 m
↓
↑
178.26 m
↓
N 54.286072°
E114.837341°		 ← 178.29 m →
31 781 m²		 N 54.286072°
E114.840088°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 107347 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41906 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.818996429443359 y=0.319721221923828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.818996429443359 × 217)
    floor (0.818996429443359 × 131072)
    floor (107347.5)     		tx = 107347
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.319721221923828 × 217)
    floor (0.319721221923828 × 131072)
    floor (41906.5)     		ty = 41906
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 107347 / 41906 ti = "17/107347/41906"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/107347/41906.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 107347 ÷ 217
    107347 ÷ 131072     		x = 0.818992614746094
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41906 ÷ 217
    41906 ÷ 131072     		y = 0.319717407226562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.818992614746094 × 2 - 1) × π
    0.637985229492188 × 3.1415926535     		Λ = 2.00428971
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.319717407226562 × 2 - 1) × π
    0.360565185546875 × 3.1415926535     		Φ = 1.13274893802193
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.00428971} λ = 2.00428971}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.13274893802193))-π/2
    2×atan(3.10417797511788)-π/2
    2×1.25914750221906-π/2
    2.51829500443813-1.57079632675     		φ = 0.94749868
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.00428971} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 114.837341°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.94749868 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 54.287675°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 107347 KachelY 41906 2.00428971 0.94749868 114.837341 54.287675
    Oben rechts KachelX + 1 107348 KachelY 41906 2.00433765 0.94749868 114.840088 54.287675
    Unten links KachelX 107347 KachelY + 1 41907 2.00428971 0.94747070 114.837341 54.286072
    Unten rechts KachelX + 1 107348 KachelY + 1 41907 2.00433765 0.94747070 114.840088 54.286072
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.94749868-0.94747070) × R
    2.79800000000385e-05 × 6371000     		dl = 178.260580000245m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.94749868-0.94747070) × R
    2.79800000000385e-05 × 6371000     		dr = 178.260580000245m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.00428971-2.00433765) × cos(0.94749868) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.58371588013393 × 6371000     		do = 178.28185463954m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.00428971-2.00433765) × cos(0.94747070) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.58373859848989 × 6371000     		du = 178.288793410221m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.94749868)-sin(0.94747070))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.58371588013393-0.58373859848989)×R²
    abs(2.00433765-2.00428971)×2.27183559597943e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.27183559597943e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.27183559597943e-05×40589641000000     		ar = 31781.2452682878m²