Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 107344 / 41904
↖ ↑ ↗
← N 54.290882°
E114.829102°		 ← 178.27 m → N 54.290882°
E114.831848°		 →
↑
178.26 m
↓
↑
178.26 m
↓
N 54.289279°
E114.829102°		 ← 178.27 m →
31 779 m²		 N 54.289279°
E114.831848°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 107344 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41904 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.818973541259766 y=0.319705963134766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.818973541259766 × 217)
    floor (0.818973541259766 × 131072)
    floor (107344.5)     		tx = 107344
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.319705963134766 × 217)
    floor (0.319705963134766 × 131072)
    floor (41904.5)     		ty = 41904
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 107344 / 41904 ti = "17/107344/41904"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/107344/41904.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 107344 ÷ 217
    107344 ÷ 131072     		x = 0.8189697265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41904 ÷ 217
    41904 ÷ 131072     		y = 0.3197021484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.8189697265625 × 2 - 1) × π
    0.637939453125 × 3.1415926535     		Λ = 2.00414590
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3197021484375 × 2 - 1) × π
    0.360595703125 × 3.1415926535     		Φ = 1.13284481182117
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.00414590} λ = 2.00414590}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.13284481182117))-π/2
    2×atan(3.1044755987208)-π/2
    2×1.2591754826596-π/2
    2.51835096531921-1.57079632675     		φ = 0.94755464
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.00414590} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 114.829102°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.94755464 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 54.290882°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 107344 KachelY 41904 2.00414590 0.94755464 114.829102 54.290882
    Oben rechts KachelX + 1 107345 KachelY 41904 2.00419384 0.94755464 114.831848 54.290882
    Unten links KachelX 107344 KachelY + 1 41905 2.00414590 0.94752666 114.829102 54.289279
    Unten rechts KachelX + 1 107345 KachelY + 1 41905 2.00419384 0.94752666 114.831848 54.289279
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.94755464-0.94752666) × R
    2.79800000000385e-05 × 6371000     		dl = 178.260580000245m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.94755464-0.94752666) × R
    2.79800000000385e-05 × 6371000     		dr = 178.260580000245m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.00414590-2.00419384) × cos(0.94755464) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.58367044205109 × 6371000     		do = 178.267976679464m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.00414590-2.00419384) × cos(0.94752666) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.583693161320991 × 6371000     		du = 178.274915729286m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.94755464)-sin(0.94752666))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.58367044205109-0.583693161320991)×R²
    abs(2.00419384-2.00414590)×2.27192699014944e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.27192699014944e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.27192699014944e-05×40589641000000     		ar = 31778.7713998866m²