Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 107342 / 100414
↖ ↑ ↗
← S 68.718447°
E114.823609°		 ← 110.83 m → S 68.718447°
E114.826355°		 →
↑
110.79 m
↓
↑
110.79 m
↓
S 68.719444°
E114.823609°		 ← 110.83 m →
12 279 m²		 S 68.719444°
E114.826355°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 107342 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 100414 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.818958282470703 y=0.766101837158203 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.818958282470703 × 217)
    floor (0.818958282470703 × 131072)
    floor (107342.5)     		tx = 107342
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.766101837158203 × 217)
    floor (0.766101837158203 × 131072)
    floor (100414.5)     		ty = 100414
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 107342 / 100414 ti = "17/107342/100414"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/107342/100414.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 107342 ÷ 217
    107342 ÷ 131072     		x = 0.818954467773438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 100414 ÷ 217
    100414 ÷ 131072     		y = 0.766098022460938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.818954467773438 × 2 - 1) × π
    0.637908935546875 × 3.1415926535     		Λ = 2.00405003
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.766098022460938 × 2 - 1) × π
    -0.532196044921875 × 3.1415926535     		Φ = -1.67194318494832
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.00405003} λ = 2.00405003}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.67194318494832))-π/2
    2×atan(0.187881621951561)-π/2
    2×0.185716585703465-π/2
    0.371433171406931-1.57079632675     		φ = -1.19936316
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.00405003} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 114.823609°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.19936316 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.718447°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 107342 KachelY 100414 2.00405003 -1.19936316 114.823609 -68.718447
    Oben rechts KachelX + 1 107343 KachelY 100414 2.00409796 -1.19936316 114.826355 -68.718447
    Unten links KachelX 107342 KachelY + 1 100415 2.00405003 -1.19938055 114.823609 -68.719444
    Unten rechts KachelX + 1 107343 KachelY + 1 100415 2.00409796 -1.19938055 114.826355 -68.719444
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.19936316--1.19938055) × R
    1.7390000000006e-05 × 6371000     		dl = 110.791690000038m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.19936316--1.19938055) × R
    1.7390000000006e-05 × 6371000     		dr = 110.791690000038m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.00405003-2.00409796) × cos(-1.19936316) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.362951240728217 × 6371000     		do = 110.831527659855m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.00405003-2.00409796) × cos(-1.19938055) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.362935036529903 × 6371000     		du = 110.826579512963m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.19936316)-sin(-1.19938055))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.362951240728217-0.362935036529903)×R²
    abs(2.00409796-2.00405003)×1.62041983136629e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.62041983136629e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.62041983136629e-05×40589641000000     		ar = 12278.9381482471m²