Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 107339 / 42741
↖ ↑ ↗
← N 52.927119°
E114.815368°		 ← 184.12 m → N 52.927119°
E114.818115°		 →
↑
184.12 m
↓
↑
184.12 m
↓
N 52.925463°
E114.815368°		 ← 184.13 m →
33 901 m²		 N 52.925463°
E114.818115°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 107339 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42741 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.818935394287109 y=0.326091766357422 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.818935394287109 × 217)
    floor (0.818935394287109 × 131072)
    floor (107339.5)     		tx = 107339
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.326091766357422 × 217)
    floor (0.326091766357422 × 131072)
    floor (42741.5)     		ty = 42741
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 107339 / 42741 ti = "17/107339/42741"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/107339/42741.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 107339 ÷ 217
    107339 ÷ 131072     		x = 0.818931579589844
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42741 ÷ 217
    42741 ÷ 131072     		y = 0.326087951660156
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.818931579589844 × 2 - 1) × π
    0.637863159179688 × 3.1415926535     		Λ = 2.00390621
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.326087951660156 × 2 - 1) × π
    0.347824096679688 × 3.1415926535     		Φ = 1.09272162683918
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.00390621} λ = 2.00390621}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.09272162683918))-π/2
    2×atan(2.98237996230604)-π/2
    2×1.24727440701431-π/2
    2.49454881402862-1.57079632675     		φ = 0.92375249
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.00390621} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 114.815368°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.92375249 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 52.927119°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 107339 KachelY 42741 2.00390621 0.92375249 114.815368 52.927119
    Oben rechts KachelX + 1 107340 KachelY 42741 2.00395415 0.92375249 114.818115 52.927119
    Unten links KachelX 107339 KachelY + 1 42742 2.00390621 0.92372359 114.815368 52.925463
    Unten rechts KachelX + 1 107340 KachelY + 1 42742 2.00395415 0.92372359 114.818115 52.925463
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.92375249-0.92372359) × R
    2.88999999999984e-05 × 6371000     		dl = 184.12189999999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.92375249-0.92372359) × R
    2.88999999999984e-05 × 6371000     		dr = 184.12189999999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.00390621-2.00395415) × cos(0.92375249) × R
    4.79400000004127e-05 × 0.602830411200123 × 6371000     		do = 184.119924436887m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.00390621-2.00395415) × cos(0.92372359) × R
    4.79400000004127e-05 × 0.602853469372512 × 6371000     		du = 184.126966996252m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.92375249)-sin(0.92372359))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.602830411200123-0.602853469372512)×R²
    abs(2.00395415-2.00390621)×2.3058172388235e-05×R²
    4.79400000004127e-05×2.3058172388235e-05×6371000²
    4.79400000004127e-05×2.3058172388235e-05×40589641000000     		ar = 33901.1586623865m²