Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 107339 / 42730
↖ ↑ ↗
← N 52.945328°
E114.815368°		 ← 184.04 m → N 52.945328°
E114.818115°		 →
↑
184.06 m
↓
↑
184.06 m
↓
N 52.943673°
E114.815368°		 ← 184.05 m →
33 875 m²		 N 52.943673°
E114.818115°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 107339 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42730 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.818935394287109 y=0.326007843017578 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.818935394287109 × 217)
    floor (0.818935394287109 × 131072)
    floor (107339.5)     		tx = 107339
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.326007843017578 × 217)
    floor (0.326007843017578 × 131072)
    floor (42730.5)     		ty = 42730
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 107339 / 42730 ti = "17/107339/42730"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/107339/42730.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 107339 ÷ 217
    107339 ÷ 131072     		x = 0.818931579589844
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42730 ÷ 217
    42730 ÷ 131072     		y = 0.326004028320312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.818931579589844 × 2 - 1) × π
    0.637863159179688 × 3.1415926535     		Λ = 2.00390621
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.326004028320312 × 2 - 1) × π
    0.347991943359375 × 3.1415926535     		Φ = 1.093248932735
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.00390621} λ = 2.00390621}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.093248932735))-π/2
    2×atan(2.98395300354425)-π/2
    2×1.24743331159761-π/2
    2.49486662319522-1.57079632675     		φ = 0.92407030
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.00390621} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 114.815368°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.92407030 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 52.945328°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 107339 KachelY 42730 2.00390621 0.92407030 114.815368 52.945328
    Oben rechts KachelX + 1 107340 KachelY 42730 2.00395415 0.92407030 114.818115 52.945328
    Unten links KachelX 107339 KachelY + 1 42731 2.00390621 0.92404141 114.815368 52.943673
    Unten rechts KachelX + 1 107340 KachelY + 1 42731 2.00395415 0.92404141 114.818115 52.943673
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.92407030-0.92404141) × R
    2.88900000000591e-05 × 6371000     		dl = 184.058190000377m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.92407030-0.92404141) × R
    2.88900000000591e-05 × 6371000     		dr = 184.058190000377m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.00390621-2.00395415) × cos(0.92407030) × R
    4.79400000004127e-05 × 0.602576809903233 × 6371000     		do = 184.042468073119m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.00390621-2.00395415) × cos(0.92404141) × R
    4.79400000004127e-05 × 0.60259986563095 × 6371000     		du = 184.049509885818m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.92407030)-sin(0.92404141))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.602576809903233-0.60259986563095)×R²
    abs(2.00395415-2.00390621)×2.30557277167698e-05×R²
    4.79400000004127e-05×2.30557277167698e-05×6371000²
    4.79400000004127e-05×2.30557277167698e-05×40589641000000     		ar = 33875.1716107543m²