Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 107337 / 100402
↖ ↑ ↗
← S 68.706481°
E114.809875°		 ← 110.91 m → S 68.706481°
E114.812622°		 →
↑
110.92 m
↓
↑
110.92 m
↓
S 68.707478°
E114.809875°		 ← 110.91 m →
12 302 m²		 S 68.707478°
E114.812622°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 107337 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 100402 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.818920135498047 y=0.766010284423828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.818920135498047 × 217)
    floor (0.818920135498047 × 131072)
    floor (107337.5)     		tx = 107337
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.766010284423828 × 217)
    floor (0.766010284423828 × 131072)
    floor (100402.5)     		ty = 100402
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 107337 / 100402 ti = "17/107337/100402"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/107337/100402.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 107337 ÷ 217
    107337 ÷ 131072     		x = 0.818916320800781
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 100402 ÷ 217
    100402 ÷ 131072     		y = 0.766006469726562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.818916320800781 × 2 - 1) × π
    0.637832641601562 × 3.1415926535     		Λ = 2.00381034
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.766006469726562 × 2 - 1) × π
    -0.532012939453125 × 3.1415926535     		Φ = -1.67136794215288
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.00381034} λ = 2.00381034}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.67136794215288))-π/2
    2×atan(0.187989730592361)-π/2
    2×0.185821006230137-π/2
    0.371642012460274-1.57079632675     		φ = -1.19915431
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.00381034} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 114.809875°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.19915431 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.706481°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 107337 KachelY 100402 2.00381034 -1.19915431 114.809875 -68.706481
    Oben rechts KachelX + 1 107338 KachelY 100402 2.00385828 -1.19915431 114.812622 -68.706481
    Unten links KachelX 107337 KachelY + 1 100403 2.00381034 -1.19917172 114.809875 -68.707478
    Unten rechts KachelX + 1 107338 KachelY + 1 100403 2.00385828 -1.19917172 114.812622 -68.707478
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.19915431--1.19917172) × R
    1.74100000001065e-05 × 6371000     		dl = 110.919110000679m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.19915431--1.19917172) × R
    1.74100000001065e-05 × 6371000     		dr = 110.919110000679m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.00381034-2.00385828) × cos(-1.19915431) × R
    4.79400000004127e-05 × 0.363145840939732 × 6371000     		do = 110.914087197895m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.00381034-2.00385828) × cos(-1.19917172) × R
    4.79400000004127e-05 × 0.363129619425173 × 6371000     		du = 110.909132729806m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.19915431)-sin(-1.19917172))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.363145840939732-0.363129619425173)×R²
    abs(2.00385828-2.00381034)×1.6221514559267e-05×R²
    4.79400000004127e-05×1.6221514559267e-05×6371000²
    4.79400000004127e-05×1.6221514559267e-05×40589641000000     		ar = 12302.217066215m²