Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 107334 / 100475
↖ ↑ ↗
← S 68.779173°
E114.801636°		 ← 110.55 m → S 68.779173°
E114.804382°		 →
↑
110.60 m
↓
↑
110.60 m
↓
S 68.780168°
E114.801636°		 ← 110.55 m →
12 227 m²		 S 68.780168°
E114.804382°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 107334 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 100475 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.818897247314453 y=0.766567230224609 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.818897247314453 × 217)
    floor (0.818897247314453 × 131072)
    floor (107334.5)     		tx = 107334
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.766567230224609 × 217)
    floor (0.766567230224609 × 131072)
    floor (100475.5)     		ty = 100475
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 107334 / 100475 ti = "17/107334/100475"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/107334/100475.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 107334 ÷ 217
    107334 ÷ 131072     		x = 0.818893432617188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 100475 ÷ 217
    100475 ÷ 131072     		y = 0.766563415527344
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.818893432617188 × 2 - 1) × π
    0.637786865234375 × 3.1415926535     		Λ = 2.00366653
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.766563415527344 × 2 - 1) × π
    -0.533126831054688 × 3.1415926535     		Φ = -1.67486733582514
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.00366653} λ = 2.00366653}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.67486733582514))-π/2
    2×atan(0.187333030215397)-π/2
    2×0.18518664600601-π/2
    0.370373292012019-1.57079632675     		φ = -1.20042303
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.00366653} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 114.801636°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.20042303 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.779173°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 107334 KachelY 100475 2.00366653 -1.20042303 114.801636 -68.779173
    Oben rechts KachelX + 1 107335 KachelY 100475 2.00371447 -1.20042303 114.804382 -68.779173
    Unten links KachelX 107334 KachelY + 1 100476 2.00366653 -1.20044039 114.801636 -68.780168
    Unten rechts KachelX + 1 107335 KachelY + 1 100476 2.00371447 -1.20044039 114.804382 -68.780168
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.20042303--1.20044039) × R
    1.73599999999663e-05 × 6371000     		dl = 110.600559999785m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.20042303--1.20044039) × R
    1.73599999999663e-05 × 6371000     		dr = 110.600559999785m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.00366653-2.00371447) × cos(-1.20042303) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.361963441571143 × 6371000     		do = 110.552951994741m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.00366653-2.00371447) × cos(-1.20044039) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.361947258658434 × 6371000     		du = 110.548009316651m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.20042303)-sin(-1.20044039))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.361963441571143-0.361947258658434)×R²
    abs(2.00371447-2.00366653)×1.61829127092727e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.61829127092727e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.61829127092727e-05×40589641000000     		ar = 12226.9450689646m²