Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 107334 / 100430
↖ ↑ ↗
← S 68.734391°
E114.801636°		 ← 110.78 m → S 68.734391°
E114.804382°		 →
↑
110.73 m
↓
↑
110.73 m
↓
S 68.735387°
E114.801636°		 ← 110.77 m →
12 266 m²		 S 68.735387°
E114.804382°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 107334 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 100430 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.818897247314453 y=0.766223907470703 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.818897247314453 × 217)
    floor (0.818897247314453 × 131072)
    floor (107334.5)     		tx = 107334
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.766223907470703 × 217)
    floor (0.766223907470703 × 131072)
    floor (100430.5)     		ty = 100430
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 107334 / 100430 ti = "17/107334/100430"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/107334/100430.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 107334 ÷ 217
    107334 ÷ 131072     		x = 0.818893432617188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 100430 ÷ 217
    100430 ÷ 131072     		y = 0.766220092773438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.818893432617188 × 2 - 1) × π
    0.637786865234375 × 3.1415926535     		Λ = 2.00366653
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.766220092773438 × 2 - 1) × π
    -0.532440185546875 × 3.1415926535     		Φ = -1.67271017534224
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.00366653} λ = 2.00366653}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.67271017534224))-π/2
    2×atan(0.187737573801165)-π/2
    2×0.185577445372941-π/2
    0.371154890745882-1.57079632675     		φ = -1.19964144
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.00366653} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 114.801636°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.19964144 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.734391°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 107334 KachelY 100430 2.00366653 -1.19964144 114.801636 -68.734391
    Oben rechts KachelX + 1 107335 KachelY 100430 2.00371447 -1.19964144 114.804382 -68.734391
    Unten links KachelX 107334 KachelY + 1 100431 2.00366653 -1.19965882 114.801636 -68.735387
    Unten rechts KachelX + 1 107335 KachelY + 1 100431 2.00371447 -1.19965882 114.804382 -68.735387
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.19964144--1.19965882) × R
    1.73800000000668e-05 × 6371000     		dl = 110.727980000426m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.19964144--1.19965882) × R
    1.73800000000668e-05 × 6371000     		dr = 110.727980000426m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.00366653-2.00371447) × cos(-1.19964144) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.362691923110865 × 6371000     		do = 110.775449008087m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.00366653-2.00371447) × cos(-1.19965882) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.362675726475946 × 6371000     		du = 110.770502138881m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.19964144)-sin(-1.19965882))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.362691923110865-0.362675726475946)×R²
    abs(2.00371447-2.00366653)×1.61966349190856e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.61966349190856e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.61966349190856e-05×40589641000000     		ar = 12265.6678241469m²