Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 107333 / 100471
↖ ↑ ↗
← S 68.775196°
E114.798889°		 ← 110.57 m → S 68.775196°
E114.801636°		 →
↑
110.60 m
↓
↑
110.60 m
↓
S 68.776191°
E114.798889°		 ← 110.57 m →
12 229 m²		 S 68.776191°
E114.801636°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 107333 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 100471 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.818889617919922 y=0.766536712646484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.818889617919922 × 217)
    floor (0.818889617919922 × 131072)
    floor (107333.5)     		tx = 107333
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.766536712646484 × 217)
    floor (0.766536712646484 × 131072)
    floor (100471.5)     		ty = 100471
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 107333 / 100471 ti = "17/107333/100471"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/107333/100471.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 107333 ÷ 217
    107333 ÷ 131072     		x = 0.818885803222656
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 100471 ÷ 217
    100471 ÷ 131072     		y = 0.766532897949219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.818885803222656 × 2 - 1) × π
    0.637771606445312 × 3.1415926535     		Λ = 2.00361859
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.766532897949219 × 2 - 1) × π
    -0.533065795898438 × 3.1415926535     		Φ = -1.67467558822666
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.00361859} λ = 2.00361859}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.67467558822666))-π/2
    2×atan(0.187368954318127)-π/2
    2×0.185221351917556-π/2
    0.370442703835113-1.57079632675     		φ = -1.20035362
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.00361859} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 114.798889°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.20035362 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.775196°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 107333 KachelY 100471 2.00361859 -1.20035362 114.798889 -68.775196
    Oben rechts KachelX + 1 107334 KachelY 100471 2.00366653 -1.20035362 114.801636 -68.775196
    Unten links KachelX 107333 KachelY + 1 100472 2.00361859 -1.20037098 114.798889 -68.776191
    Unten rechts KachelX + 1 107334 KachelY + 1 100472 2.00366653 -1.20037098 114.801636 -68.776191
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.20035362--1.20037098) × R
    1.73599999999663e-05 × 6371000     		dl = 110.600559999785m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.20035362--1.20037098) × R
    1.73599999999663e-05 × 6371000     		dr = 110.600559999785m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.00361859-2.00366653) × cos(-1.20035362) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.362028144166069 × 6371000     		do = 110.572713832676m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.00361859-2.00366653) × cos(-1.20037098) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.36201196168954 × 6371000     		du = 110.567771287807m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.20035362)-sin(-1.20037098))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.362028144166069-0.36201196168954)×R²
    abs(2.00366653-2.00361859)×1.61824765294583e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.61824765294583e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.61824765294583e-05×40589641000000     		ar = 12229.1307466735m²