Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 107333 / 100427
↖ ↑ ↗
← S 68.731402°
E114.798889°		 ← 110.79 m → S 68.731402°
E114.801636°		 →
↑
110.79 m
↓
↑
110.79 m
↓
S 68.732399°
E114.798889°		 ← 110.79 m →
12 274 m²		 S 68.732399°
E114.801636°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 107333 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 100427 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.818889617919922 y=0.766201019287109 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.818889617919922 × 217)
    floor (0.818889617919922 × 131072)
    floor (107333.5)     		tx = 107333
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.766201019287109 × 217)
    floor (0.766201019287109 × 131072)
    floor (100427.5)     		ty = 100427
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 107333 / 100427 ti = "17/107333/100427"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/107333/100427.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 107333 ÷ 217
    107333 ÷ 131072     		x = 0.818885803222656
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 100427 ÷ 217
    100427 ÷ 131072     		y = 0.766197204589844
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.818885803222656 × 2 - 1) × π
    0.637771606445312 × 3.1415926535     		Λ = 2.00361859
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.766197204589844 × 2 - 1) × π
    -0.532394409179688 × 3.1415926535     		Φ = -1.67256636464338
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.00361859} λ = 2.00361859}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.67256636464338))-π/2
    2×atan(0.187764574414298)-π/2
    2×0.185603526610306-π/2
    0.371207053220611-1.57079632675     		φ = -1.19958927
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.00361859} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 114.798889°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.19958927 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.731402°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 107333 KachelY 100427 2.00361859 -1.19958927 114.798889 -68.731402
    Oben rechts KachelX + 1 107334 KachelY 100427 2.00366653 -1.19958927 114.801636 -68.731402
    Unten links KachelX 107333 KachelY + 1 100428 2.00361859 -1.19960666 114.798889 -68.732399
    Unten rechts KachelX + 1 107334 KachelY + 1 100428 2.00366653 -1.19960666 114.801636 -68.732399
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.19958927--1.19960666) × R
    1.7390000000006e-05 × 6371000     		dl = 110.791690000038m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.19958927--1.19960666) × R
    1.7390000000006e-05 × 6371000     		dr = 110.791690000038m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.00361859-2.00366653) × cos(-1.19958927) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.36274054031497 × 6371000     		do = 110.790297953627m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.00361859-2.00366653) × cos(-1.19960666) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.362724334689959 × 6371000     		du = 110.785348338616m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.19958927)-sin(-1.19960666))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.36274054031497-0.362724334689959)×R²
    abs(2.00366653-2.00361859)×1.62056250110898e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.62056250110898e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.62056250110898e-05×40589641000000     		ar = 12274.370157885m²