Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 107332 / 42778
↖ ↑ ↗
← N 52.865814°
E114.796143°		 ← 184.34 m → N 52.865814°
E114.798889°		 →
↑
184.38 m
↓
↑
184.38 m
↓
N 52.864156°
E114.796143°		 ← 184.35 m →
33 989 m²		 N 52.864156°
E114.798889°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 107332 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42778 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.818881988525391 y=0.326374053955078 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.818881988525391 × 217)
    floor (0.818881988525391 × 131072)
    floor (107332.5)     		tx = 107332
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.326374053955078 × 217)
    floor (0.326374053955078 × 131072)
    floor (42778.5)     		ty = 42778
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 107332 / 42778 ti = "17/107332/42778"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/107332/42778.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 107332 ÷ 217
    107332 ÷ 131072     		x = 0.818878173828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42778 ÷ 217
    42778 ÷ 131072     		y = 0.326370239257812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.818878173828125 × 2 - 1) × π
    0.63775634765625 × 3.1415926535     		Λ = 2.00357066
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.326370239257812 × 2 - 1) × π
    0.347259521484375 × 3.1415926535     		Φ = 1.09094796155324
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.00357066} λ = 2.00357066}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.09094796155324))-π/2
    2×atan(2.97709490684263)-π/2
    2×1.24673941897177-π/2
    2.49347883794354-1.57079632675     		φ = 0.92268251
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.00357066} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 114.796143°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.92268251 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 52.865814°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 107332 KachelY 42778 2.00357066 0.92268251 114.796143 52.865814
    Oben rechts KachelX + 1 107333 KachelY 42778 2.00361859 0.92268251 114.798889 52.865814
    Unten links KachelX 107332 KachelY + 1 42779 2.00357066 0.92265357 114.796143 52.864156
    Unten rechts KachelX + 1 107333 KachelY + 1 42779 2.00361859 0.92265357 114.798889 52.864156
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.92268251-0.92265357) × R
    2.89399999999773e-05 × 6371000     		dl = 184.376739999855m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.92268251-0.92265357) × R
    2.89399999999773e-05 × 6371000     		dr = 184.376739999855m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.00357066-2.00361859) × cos(0.92268251) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.603683770204098 × 6371000     		do = 184.34210154769m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.00357066-2.00361859) × cos(0.92265357) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.603706841610214 × 6371000     		du = 184.349146679096m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.92268251)-sin(0.92265357))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.603683770204098-0.603706841610214)×R²
    abs(2.00361859-2.00357066)×2.30714061163484e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.30714061163484e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.30714061163484e-05×40589641000000     		ar = 33989.045209733m²