Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 107332 / 100428
↖ ↑ ↗
← S 68.732399°
E114.796143°		 ← 110.76 m → S 68.732399°
E114.798889°		 →
↑
110.79 m
↓
↑
110.79 m
↓
S 68.733395°
E114.796143°		 ← 110.76 m →
12 271 m²		 S 68.733395°
E114.798889°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 107332 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 100428 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.818881988525391 y=0.766208648681641 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.818881988525391 × 217)
    floor (0.818881988525391 × 131072)
    floor (107332.5)     		tx = 107332
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.766208648681641 × 217)
    floor (0.766208648681641 × 131072)
    floor (100428.5)     		ty = 100428
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 107332 / 100428 ti = "17/107332/100428"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/107332/100428.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 107332 ÷ 217
    107332 ÷ 131072     		x = 0.818878173828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 100428 ÷ 217
    100428 ÷ 131072     		y = 0.766204833984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.818878173828125 × 2 - 1) × π
    0.63775634765625 × 3.1415926535     		Λ = 2.00357066
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.766204833984375 × 2 - 1) × π
    -0.53240966796875 × 3.1415926535     		Φ = -1.672614301543
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.00357066} λ = 2.00357066}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.672614301543))-π/2
    2×atan(0.187755573778475)-π/2
    2×0.185594832476145-π/2
    0.371189664952289-1.57079632675     		φ = -1.19960666
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.00357066} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 114.796143°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.19960666 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.732399°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 107332 KachelY 100428 2.00357066 -1.19960666 114.796143 -68.732399
    Oben rechts KachelX + 1 107333 KachelY 100428 2.00361859 -1.19960666 114.798889 -68.732399
    Unten links KachelX 107332 KachelY + 1 100429 2.00357066 -1.19962405 114.796143 -68.733395
    Unten rechts KachelX + 1 107333 KachelY + 1 100429 2.00361859 -1.19962405 114.798889 -68.733395
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.19960666--1.19962405) × R
    1.7390000000006e-05 × 6371000     		dl = 110.791690000038m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.19960666--1.19962405) × R
    1.7390000000006e-05 × 6371000     		dr = 110.791690000038m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.00357066-2.00361859) × cos(-1.19960666) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.362724334689959 × 6371000     		do = 110.762239171393m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.00357066-2.00361859) × cos(-1.19962405) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.362708128955256 × 6371000     		du = 110.757290555347m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.19960666)-sin(-1.19962405))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.362724334689959-0.362708128955256)×R²
    abs(2.00361859-2.00357066)×1.62057347032896e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.62057347032896e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.62057347032896e-05×40589641000000     		ar = 12271.2615337147m²