Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 107326 / 100467
↖ ↑ ↗
← S 68.771219°
E114.779663°		 ← 110.57 m → S 68.771219°
E114.782410°		 →
↑
110.60 m
↓
↑
110.60 m
↓
S 68.772214°
E114.779663°		 ← 110.56 m →
12 229 m²		 S 68.772214°
E114.782410°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 107326 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 100467 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.818836212158203 y=0.766506195068359 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.818836212158203 × 217)
    floor (0.818836212158203 × 131072)
    floor (107326.5)     		tx = 107326
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.766506195068359 × 217)
    floor (0.766506195068359 × 131072)
    floor (100467.5)     		ty = 100467
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 107326 / 100467 ti = "17/107326/100467"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/107326/100467.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 107326 ÷ 217
    107326 ÷ 131072     		x = 0.818832397460938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 100467 ÷ 217
    100467 ÷ 131072     		y = 0.766502380371094
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.818832397460938 × 2 - 1) × π
    0.637664794921875 × 3.1415926535     		Λ = 2.00328304
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.766502380371094 × 2 - 1) × π
    -0.533004760742188 × 3.1415926535     		Φ = -1.67448384062818
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.00328304} λ = 2.00328304}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.67448384062818))-π/2
    2×atan(0.187404885309878)-π/2
    2×0.185256064033021-π/2
    0.370512128066041-1.57079632675     		φ = -1.20028420
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.00328304} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 114.779663°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.20028420 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.771219°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 107326 KachelY 100467 2.00328304 -1.20028420 114.779663 -68.771219
    Oben rechts KachelX + 1 107327 KachelY 100467 2.00333097 -1.20028420 114.782410 -68.771219
    Unten links KachelX 107326 KachelY + 1 100468 2.00328304 -1.20030156 114.779663 -68.772214
    Unten rechts KachelX + 1 107327 KachelY + 1 100468 2.00333097 -1.20030156 114.782410 -68.772214
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.20028420--1.20030156) × R
    1.73599999999663e-05 × 6371000     		dl = 110.600559999785m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.20028420--1.20030156) × R
    1.73599999999663e-05 × 6371000     		dr = 110.600559999785m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.00328304-2.00333097) × cos(-1.20028420) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.362092854338255 × 6371000     		do = 110.569409049291m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.00328304-2.00333097) × cos(-1.20030156) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.362076672298046 × 6371000     		du = 110.564467668644m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.20028420)-sin(-1.20030156))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.362092854338255-0.362076672298046)×R²
    abs(2.00333097-2.00328304)×1.6182040208812e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.6182040208812e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.6182040208812e-05×40589641000000     		ar = 12228.7653001986m²