Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 107324 / 42772
↖ ↑ ↗
← N 52.875761°
E114.774170°		 ← 184.34 m → N 52.875761°
E114.776917°		 →
↑
184.31 m
↓
↑
184.31 m
↓
N 52.874103°
E114.774170°		 ← 184.35 m →
33 977 m²		 N 52.874103°
E114.776917°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 107324 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42772 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.818820953369141 y=0.326328277587891 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.818820953369141 × 217)
    floor (0.818820953369141 × 131072)
    floor (107324.5)     		tx = 107324
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.326328277587891 × 217)
    floor (0.326328277587891 × 131072)
    floor (42772.5)     		ty = 42772
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 107324 / 42772 ti = "17/107324/42772"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/107324/42772.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 107324 ÷ 217
    107324 ÷ 131072     		x = 0.818817138671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42772 ÷ 217
    42772 ÷ 131072     		y = 0.326324462890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.818817138671875 × 2 - 1) × π
    0.63763427734375 × 3.1415926535     		Λ = 2.00318716
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.326324462890625 × 2 - 1) × π
    0.34735107421875 × 3.1415926535     		Φ = 1.09123558295096
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.00318716} λ = 2.00318716}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.09123558295096))-π/2
    2×atan(2.97795130619437)-π/2
    2×1.24682622520343-π/2
    2.49365245040686-1.57079632675     		φ = 0.92285612
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.00318716} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 114.774170°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.92285612 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 52.875761°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 107324 KachelY 42772 2.00318716 0.92285612 114.774170 52.875761
    Oben rechts KachelX + 1 107325 KachelY 42772 2.00323510 0.92285612 114.776917 52.875761
    Unten links KachelX 107324 KachelY + 1 42773 2.00318716 0.92282719 114.774170 52.874103
    Unten rechts KachelX + 1 107325 KachelY + 1 42773 2.00323510 0.92282719 114.776917 52.874103
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.92285612-0.92282719) × R
    2.89299999999271e-05 × 6371000     		dl = 184.313029999535m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.92285612-0.92282719) × R
    2.89299999999271e-05 × 6371000     		dr = 184.313029999535m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.00318716-2.00323510) × cos(0.92285612) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.603545355070349 × 6371000     		do = 184.338286695803m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.00318716-2.00323510) × cos(0.92282719) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.603568421536136 × 6371000     		du = 184.345331788185m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.92285612)-sin(0.92282719))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.603545355070349-0.603568421536136)×R²
    abs(2.00323510-2.00318716)×2.30664657868695e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.30664657868695e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.30664657868695e-05×40589641000000     		ar = 33976.5974194012m²