Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 107324 / 100460
↖ ↑ ↗
← S 68.764256°
E114.774170°		 ← 110.63 m → S 68.764256°
E114.776917°		 →
↑
110.60 m
↓
↑
110.60 m
↓
S 68.765251°
E114.774170°		 ← 110.62 m →
12 235 m²		 S 68.765251°
E114.776917°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 107324 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 100460 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.818820953369141 y=0.766452789306641 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.818820953369141 × 217)
    floor (0.818820953369141 × 131072)
    floor (107324.5)     		tx = 107324
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.766452789306641 × 217)
    floor (0.766452789306641 × 131072)
    floor (100460.5)     		ty = 100460
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 107324 / 100460 ti = "17/107324/100460"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/107324/100460.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 107324 ÷ 217
    107324 ÷ 131072     		x = 0.818817138671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 100460 ÷ 217
    100460 ÷ 131072     		y = 0.766448974609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.818817138671875 × 2 - 1) × π
    0.63763427734375 × 3.1415926535     		Λ = 2.00318716
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.766448974609375 × 2 - 1) × π
    -0.53289794921875 × 3.1415926535     		Φ = -1.67414828233084
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.00318716} λ = 2.00318716}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.67414828233084))-π/2
    2×atan(0.187467781126122)-π/2
    2×0.185316825166091-π/2
    0.370633650332183-1.57079632675     		φ = -1.20016268
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.00318716} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 114.774170°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.20016268 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.764256°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 107324 KachelY 100460 2.00318716 -1.20016268 114.774170 -68.764256
    Oben rechts KachelX + 1 107325 KachelY 100460 2.00323510 -1.20016268 114.776917 -68.764256
    Unten links KachelX 107324 KachelY + 1 100461 2.00318716 -1.20018004 114.774170 -68.765251
    Unten rechts KachelX + 1 107325 KachelY + 1 100461 2.00323510 -1.20018004 114.776917 -68.765251
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.20016268--1.20018004) × R
    1.73599999999663e-05 × 6371000     		dl = 110.600559999785m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.20016268--1.20018004) × R
    1.73599999999663e-05 × 6371000     		dr = 110.600559999785m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.00318716-2.00323510) × cos(-1.20016268) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.362206125563978 × 6371000     		do = 110.627073932838m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.00318716-2.00323510) × cos(-1.20018004) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.362189944287738 × 6371000     		du = 110.622131754569m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.20016268)-sin(-1.20018004))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.362206125563978-0.362189944287738)×R²
    abs(2.00323510-2.00318716)×1.61812762399238e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.61812762399238e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.61812762399238e-05×40589641000000     		ar = 12235.1430243799m²