Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 107316 / 100492
↖ ↑ ↗
← S 68.796068°
E114.752197°		 ← 110.45 m → S 68.796068°
E114.754944°		 →
↑
110.41 m
↓
↑
110.41 m
↓
S 68.797061°
E114.752197°		 ← 110.44 m →
12 194 m²		 S 68.797061°
E114.754944°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 107316 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 100492 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.818759918212891 y=0.766696929931641 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.818759918212891 × 217)
    floor (0.818759918212891 × 131072)
    floor (107316.5)     		tx = 107316
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.766696929931641 × 217)
    floor (0.766696929931641 × 131072)
    floor (100492.5)     		ty = 100492
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 107316 / 100492 ti = "17/107316/100492"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/107316/100492.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 107316 ÷ 217
    107316 ÷ 131072     		x = 0.818756103515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 100492 ÷ 217
    100492 ÷ 131072     		y = 0.766693115234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.818756103515625 × 2 - 1) × π
    0.63751220703125 × 3.1415926535     		Λ = 2.00280367
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.766693115234375 × 2 - 1) × π
    -0.53338623046875 × 3.1415926535     		Φ = -1.67568226311868
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.00280367} λ = 2.00280367}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.67568226311868))-π/2
    2×atan(0.187180429603739)-π/2
    2×0.185039215072505-π/2
    0.370078430145009-1.57079632675     		φ = -1.20071790
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.00280367} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 114.752197°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.20071790 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.796068°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 107316 KachelY 100492 2.00280367 -1.20071790 114.752197 -68.796068
    Oben rechts KachelX + 1 107317 KachelY 100492 2.00285160 -1.20071790 114.754944 -68.796068
    Unten links KachelX 107316 KachelY + 1 100493 2.00280367 -1.20073523 114.752197 -68.797061
    Unten rechts KachelX + 1 107317 KachelY + 1 100493 2.00285160 -1.20073523 114.754944 -68.797061
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.20071790--1.20073523) × R
    1.73300000001486e-05 × 6371000     		dl = 110.409430000947m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.20071790--1.20073523) × R
    1.73300000001486e-05 × 6371000     		dr = 110.409430000947m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.00280367-2.00285160) × cos(-1.20071790) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.361688550298292 × 6371000     		do = 110.445949946911m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.00280367-2.00285160) × cos(-1.20073523) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.361672393502615 × 6371000     		du = 110.441016274985m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.20071790)-sin(-1.20073523))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.361688550298292-0.361672393502615)×R²
    abs(2.00285160-2.00280367)×1.61567956770692e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.61567956770692e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.61567956770692e-05×40589641000000     		ar = 12194.002018002m²