Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 107316 / 100491
↖ ↑ ↗
← S 68.795075°
E114.752197°		 ← 110.45 m → S 68.795075°
E114.754944°		 →
↑
110.47 m
↓
↑
110.47 m
↓
S 68.796068°
E114.752197°		 ← 110.45 m →
12 202 m²		 S 68.796068°
E114.754944°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 107316 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 100491 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.818759918212891 y=0.766689300537109 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.818759918212891 × 217)
    floor (0.818759918212891 × 131072)
    floor (107316.5)     		tx = 107316
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.766689300537109 × 217)
    floor (0.766689300537109 × 131072)
    floor (100491.5)     		ty = 100491
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 107316 / 100491 ti = "17/107316/100491"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/107316/100491.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 107316 ÷ 217
    107316 ÷ 131072     		x = 0.818756103515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 100491 ÷ 217
    100491 ÷ 131072     		y = 0.766685485839844
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.818756103515625 × 2 - 1) × π
    0.63751220703125 × 3.1415926535     		Λ = 2.00280367
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.766685485839844 × 2 - 1) × π
    -0.533370971679688 × 3.1415926535     		Φ = -1.67563432621906
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.00280367} λ = 2.00280367}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.67563432621906))-π/2
    2×atan(0.187189402668273)-π/2
    2×0.185047884380165-π/2
    0.370095768760329-1.57079632675     		φ = -1.20070056
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.00280367} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 114.752197°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.20070056 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.795075°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 107316 KachelY 100491 2.00280367 -1.20070056 114.752197 -68.795075
    Oben rechts KachelX + 1 107317 KachelY 100491 2.00285160 -1.20070056 114.754944 -68.795075
    Unten links KachelX 107316 KachelY + 1 100492 2.00280367 -1.20071790 114.752197 -68.796068
    Unten rechts KachelX + 1 107317 KachelY + 1 100492 2.00285160 -1.20071790 114.754944 -68.796068
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.20070056--1.20071790) × R
    1.73399999998658e-05 × 6371000     		dl = 110.473139999145m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.20070056--1.20071790) × R
    1.73399999998658e-05 × 6371000     		dr = 110.473139999145m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.00280367-2.00285160) × cos(-1.20070056) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.361704716308271 × 6371000     		do = 110.450886432535m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.00280367-2.00285160) × cos(-1.20071790) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.361688550298292 × 6371000     		du = 110.445949946911m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.20070056)-sin(-1.20071790))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.361704716308271-0.361688550298292)×R²
    abs(2.00285160-2.00280367)×1.61660099783911e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.61660099783911e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.61660099783911e-05×40589641000000     		ar = 12201.5835655696m²