Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 107309 / 100477
↖ ↑ ↗
← S 68.781162°
E114.732971°		 ← 110.52 m → S 68.781162°
E114.735718°		 →
↑
110.54 m
↓
↑
110.54 m
↓
S 68.782156°
E114.732971°		 ← 110.52 m →
12 216 m²		 S 68.782156°
E114.735718°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 107309 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 100477 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.818706512451172 y=0.766582489013672 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.818706512451172 × 217)
    floor (0.818706512451172 × 131072)
    floor (107309.5)     		tx = 107309
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.766582489013672 × 217)
    floor (0.766582489013672 × 131072)
    floor (100477.5)     		ty = 100477
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 107309 / 100477 ti = "17/107309/100477"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/107309/100477.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 107309 ÷ 217
    107309 ÷ 131072     		x = 0.818702697753906
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 100477 ÷ 217
    100477 ÷ 131072     		y = 0.766578674316406
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.818702697753906 × 2 - 1) × π
    0.637405395507812 × 3.1415926535     		Λ = 2.00246811
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.766578674316406 × 2 - 1) × π
    -0.533157348632812 × 3.1415926535     		Φ = -1.67496320962438
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.00246811} λ = 2.00246811}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.67496320962438))-π/2
    2×atan(0.187315070747002)-π/2
    2×0.185169295376411-π/2
    0.370338590752822-1.57079632675     		φ = -1.20045774
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.00246811} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 114.732971°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.20045774 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.781162°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 107309 KachelY 100477 2.00246811 -1.20045774 114.732971 -68.781162
    Oben rechts KachelX + 1 107310 KachelY 100477 2.00251604 -1.20045774 114.735718 -68.781162
    Unten links KachelX 107309 KachelY + 1 100478 2.00246811 -1.20047509 114.732971 -68.782156
    Unten rechts KachelX + 1 107310 KachelY + 1 100478 2.00251604 -1.20047509 114.735718 -68.782156
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.20045774--1.20047509) × R
    1.73500000000271e-05 × 6371000     		dl = 110.536850000172m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.20045774--1.20047509) × R
    1.73500000000271e-05 × 6371000     		dr = 110.536850000172m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.00246811-2.00251604) × cos(-1.20045774) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.361931084958693 × 6371000     		do = 110.520010823157m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.00246811-2.00251604) × cos(-1.20047509) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.361914911150003 × 6371000     		du = 110.515071956102m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.20045774)-sin(-1.20047509))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.361931084958693-0.361914911150003)×R²
    abs(2.00251604-2.00246811)×1.61738086900676e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.61738086900676e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.61738086900676e-05×40589641000000     		ar = 12216.2608953105m²