Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 107303 / 43435
↖ ↑ ↗
← N 51.762740°
E114.716492°		 ← 188.99 m → N 51.762740°
E114.719238°		 →
↑
189.03 m
↓
↑
189.03 m
↓
N 51.761040°
E114.716492°		 ← 189 m →
35 726 m²		 N 51.761040°
E114.719238°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 107303 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43435 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.818660736083984 y=0.331386566162109 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.818660736083984 × 217)
    floor (0.818660736083984 × 131072)
    floor (107303.5)     		tx = 107303
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.331386566162109 × 217)
    floor (0.331386566162109 × 131072)
    floor (43435.5)     		ty = 43435
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 107303 / 43435 ti = "17/107303/43435"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/107303/43435.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 107303 ÷ 217
    107303 ÷ 131072     		x = 0.818656921386719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43435 ÷ 217
    43435 ÷ 131072     		y = 0.331382751464844
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.818656921386719 × 2 - 1) × π
    0.637313842773438 × 3.1415926535     		Λ = 2.00218049
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.331382751464844 × 2 - 1) × π
    0.337234497070312 × 3.1415926535     		Φ = 1.05945341850286
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.00218049} λ = 2.00218049}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.05945341850286))-π/2
    2×atan(2.88479378336639)-π/2
    2×1.23711328863187-π/2
    2.47422657726373-1.57079632675     		φ = 0.90343025
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.00218049} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 114.716492°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.90343025 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 51.762740°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 107303 KachelY 43435 2.00218049 0.90343025 114.716492 51.762740
    Oben rechts KachelX + 1 107304 KachelY 43435 2.00222842 0.90343025 114.719238 51.762740
    Unten links KachelX 107303 KachelY + 1 43436 2.00218049 0.90340058 114.716492 51.761040
    Unten rechts KachelX + 1 107304 KachelY + 1 43436 2.00222842 0.90340058 114.719238 51.761040
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.90343025-0.90340058) × R
    2.96699999999817e-05 × 6371000     		dl = 189.027569999883m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.90343025-0.90340058) × R
    2.96699999999817e-05 × 6371000     		dr = 189.027569999883m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.00218049-2.00222842) × cos(0.90343025) × R
    4.79299999995852e-05 × 0.618919309289386 × 6371000     		do = 188.994456689169m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.00218049-2.00222842) × cos(0.90340058) × R
    4.79299999995852e-05 × 0.618942613454188 × 6371000     		du = 189.001572896241m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.90343025)-sin(0.90340058))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.618919309289386-0.618942613454188)×R²
    abs(2.00222842-2.00218049)×2.33041648015631e-05×R²
    4.79299999995852e-05×2.33041648015631e-05×6371000²
    4.79299999995852e-05×2.33041648015631e-05×40589641000000     		ar = 35725.8354738751m²