Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 107303 / 100261
↖ ↑ ↗
← S 68.565403°
E114.716492°		 ← 111.59 m → S 68.565403°
E114.719238°		 →
↑
111.62 m
↓
↑
111.62 m
↓
S 68.566407°
E114.716492°		 ← 111.59 m →
12 456 m²		 S 68.566407°
E114.719238°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 107303 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 100261 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.818660736083984 y=0.764934539794922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.818660736083984 × 217)
    floor (0.818660736083984 × 131072)
    floor (107303.5)     		tx = 107303
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.764934539794922 × 217)
    floor (0.764934539794922 × 131072)
    floor (100261.5)     		ty = 100261
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 107303 / 100261 ti = "17/107303/100261"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/107303/100261.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 107303 ÷ 217
    107303 ÷ 131072     		x = 0.818656921386719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 100261 ÷ 217
    100261 ÷ 131072     		y = 0.764930725097656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.818656921386719 × 2 - 1) × π
    0.637313842773438 × 3.1415926535     		Λ = 2.00218049
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.764930725097656 × 2 - 1) × π
    -0.529861450195312 × 3.1415926535     		Φ = -1.66460883930645
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.00218049} λ = 2.00218049}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.66460883930645))-π/2
    2×atan(0.189264676406577)-π/2
    2×0.187052147616778-π/2
    0.374104295233556-1.57079632675     		φ = -1.19669203
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.00218049} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 114.716492°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.19669203 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.565403°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 107303 KachelY 100261 2.00218049 -1.19669203 114.716492 -68.565403
    Oben rechts KachelX + 1 107304 KachelY 100261 2.00222842 -1.19669203 114.719238 -68.565403
    Unten links KachelX 107303 KachelY + 1 100262 2.00218049 -1.19670955 114.716492 -68.566407
    Unten rechts KachelX + 1 107304 KachelY + 1 100262 2.00222842 -1.19670955 114.719238 -68.566407
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.19669203--1.19670955) × R
    1.75200000001041e-05 × 6371000     		dl = 111.619920000663m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.19669203--1.19670955) × R
    1.75200000001041e-05 × 6371000     		dr = 111.619920000663m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.00218049-2.00222842) × cos(-1.19669203) × R
    4.79299999995852e-05 × 0.365438923610845 × 6371000     		do = 111.591171553857m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.00218049-2.00222842) × cos(-1.19670955) × R
    4.79299999995852e-05 × 0.365422615319952 × 6371000     		du = 111.586191621044m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.19669203)-sin(-1.19670955))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.365438923610845-0.365422615319952)×R²
    abs(2.00222842-2.00218049)×1.63082908929413e-05×R²
    4.79299999995852e-05×1.63082908929413e-05×6371000²
    4.79299999995852e-05×1.63082908929413e-05×40589641000000     		ar = 12455.5197119385m²