Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 1073 / 661
↖ ↑ ↗
← N 76.413973°
W 85.693359°		 ← 2 295.72 m → N 76.413973°
W 85.605469°		 →
↑
2 297.38 m
↓
↑
2 297.38 m
↓
N 76.393312°
W 85.693359°		 ← 2 299.15 m →
5 278 091 m²		 N 76.393312°
W 85.605469°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1073 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 661 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.2620849609375 y=0.1614990234375 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.2620849609375 × 212)
    floor (0.2620849609375 × 4096)
    floor (1073.5)     		tx = 1073
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.1614990234375 × 212)
    floor (0.1614990234375 × 4096)
    floor (661.5)     		ty = 661
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 1073 / 661 ti = "12/1073/661"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/1073/661.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1073 ÷ 212
    1073 ÷ 4096     		x = 0.261962890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 661 ÷ 212
    661 ÷ 4096     		y = 0.161376953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.261962890625 × 2 - 1) × π
    -0.47607421875 × 3.1415926535     		Λ = -1.49563127
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.161376953125 × 2 - 1) × π
    0.67724609375 × 3.1415926535     		Φ = 2.12763135273657
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.49563127} λ = -1.49563127}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.12763135273657))-π/2
    2×atan(8.39495854733068)-π/2
    2×1.45223587521238-π/2
    2.90447175042476-1.57079632675     		φ = 1.33367542
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.49563127} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -85.693359°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.33367542 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.413973°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1073 KachelY 661 -1.49563127 1.33367542 -85.693359 76.413973
    Oben rechts KachelX + 1 1074 KachelY 661 -1.49409729 1.33367542 -85.605469 76.413973
    Unten links KachelX 1073 KachelY + 1 662 -1.49563127 1.33331482 -85.693359 76.393312
    Unten rechts KachelX + 1 1074 KachelY + 1 662 -1.49409729 1.33331482 -85.605469 76.393312
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.33367542-1.33331482) × R
    0.000360600000000044 × 6371000     		dl = 2297.38260000028m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.33367542-1.33331482) × R
    0.000360600000000044 × 6371000     		dr = 2297.38260000028m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.49563127--1.49409729) × cos(1.33367542) × R
    0.00153398000000005 × 0.234905072548453 × 6371000     		do = 2295.72412159002m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.49563127--1.49409729) × cos(1.33331482) × R
    0.00153398000000005 × 0.235255567073022 × 6371000     		du = 2299.14949987501m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.33367542)-sin(1.33331482))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.234905072548453-0.235255567073022)×R²
    abs(-1.49409729--1.49563127)×0.000350494524569728×R²
    0.00153398000000005×0.000350494524569728×6371000²
    0.00153398000000005×0.000350494524569728×40589641000000     		ar = 5278091.41077089m²