Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 107299 / 43433
↖ ↑ ↗
← N 51.766140°
E114.705505°		 ← 189.02 m → N 51.766140°
E114.708252°		 →
↑
189.03 m
↓
↑
189.03 m
↓
N 51.764440°
E114.705505°		 ← 189.03 m →
35 731 m²		 N 51.764440°
E114.708252°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 107299 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43433 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.818630218505859 y=0.331371307373047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.818630218505859 × 217)
    floor (0.818630218505859 × 131072)
    floor (107299.5)     		tx = 107299
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.331371307373047 × 217)
    floor (0.331371307373047 × 131072)
    floor (43433.5)     		ty = 43433
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 107299 / 43433 ti = "17/107299/43433"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/107299/43433.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 107299 ÷ 217
    107299 ÷ 131072     		x = 0.818626403808594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43433 ÷ 217
    43433 ÷ 131072     		y = 0.331367492675781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.818626403808594 × 2 - 1) × π
    0.637252807617188 × 3.1415926535     		Λ = 2.00198874
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.331367492675781 × 2 - 1) × π
    0.337265014648438 × 3.1415926535     		Φ = 1.0595492923021
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.00198874} λ = 2.00198874}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.0595492923021))-π/2
    2×atan(2.88507037276506)-π/2
    2×1.23714295658755-π/2
    2.47428591317511-1.57079632675     		φ = 0.90348959
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.00198874} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 114.705505°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.90348959 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 51.766140°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 107299 KachelY 43433 2.00198874 0.90348959 114.705505 51.766140
    Oben rechts KachelX + 1 107300 KachelY 43433 2.00203668 0.90348959 114.708252 51.766140
    Unten links KachelX 107299 KachelY + 1 43434 2.00198874 0.90345992 114.705505 51.764440
    Unten rechts KachelX + 1 107300 KachelY + 1 43434 2.00203668 0.90345992 114.708252 51.764440
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.90348959-0.90345992) × R
    2.96699999999817e-05 × 6371000     		dl = 189.027569999883m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.90348959-0.90345992) × R
    2.96699999999817e-05 × 6371000     		dr = 189.027569999883m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.00198874-2.00203668) × cos(0.90348959) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.618872699325283 × 6371000     		do = 189.019652157098m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.00198874-2.00203668) × cos(0.90345992) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.618896004579744 × 6371000     		du = 189.026770181688m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.90348959)-sin(0.90345992))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.618872699325283-0.618896004579744)×R²
    abs(2.00203668-2.00198874)×2.33052544614809e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.33052544614809e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.33052544614809e-05×40589641000000     		ar = 35730.5982835369m²