Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 107299 / 43430
↖ ↑ ↗
← N 51.771239°
E114.705505°		 ← 189 m → N 51.771239°
E114.708252°		 →
↑
188.96 m
↓
↑
188.96 m
↓
N 51.769540°
E114.705505°		 ← 189.01 m →
35 715 m²		 N 51.769540°
E114.708252°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 107299 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43430 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.818630218505859 y=0.331348419189453 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.818630218505859 × 217)
    floor (0.818630218505859 × 131072)
    floor (107299.5)     		tx = 107299
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.331348419189453 × 217)
    floor (0.331348419189453 × 131072)
    floor (43430.5)     		ty = 43430
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 107299 / 43430 ti = "17/107299/43430"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/107299/43430.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 107299 ÷ 217
    107299 ÷ 131072     		x = 0.818626403808594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43430 ÷ 217
    43430 ÷ 131072     		y = 0.331344604492188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.818626403808594 × 2 - 1) × π
    0.637252807617188 × 3.1415926535     		Λ = 2.00198874
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.331344604492188 × 2 - 1) × π
    0.337310791015625 × 3.1415926535     		Φ = 1.05969310300096
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.00198874} λ = 2.00198874}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.05969310300096))-π/2
    2×atan(2.88548530658687)-π/2
    2×1.23718745433207-π/2
    2.47437490866415-1.57079632675     		φ = 0.90357858
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.00198874} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 114.705505°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.90357858 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 51.771239°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 107299 KachelY 43430 2.00198874 0.90357858 114.705505 51.771239
    Oben rechts KachelX + 1 107300 KachelY 43430 2.00203668 0.90357858 114.708252 51.771239
    Unten links KachelX 107299 KachelY + 1 43431 2.00198874 0.90354892 114.705505 51.769540
    Unten rechts KachelX + 1 107300 KachelY + 1 43431 2.00203668 0.90354892 114.708252 51.769540
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.90357858-0.90354892) × R
    2.96600000000424e-05 × 6371000     		dl = 188.96386000027m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.90357858-0.90354892) × R
    2.96600000000424e-05 × 6371000     		dr = 188.96386000027m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.00198874-2.00203668) × cos(0.90357858) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.618802796004113 × 6371000     		do = 188.998301883501m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.00198874-2.00203668) × cos(0.90354892) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.618826095037263 × 6371000     		du = 189.005418007943m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.90357858)-sin(0.90354892))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.618802796004113-0.618826095037263)×R²
    abs(2.00203668-2.00198874)×2.32990331501259e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.32990331501259e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.32990331501259e-05×40589641000000     		ar = 35714.5210052772m²