Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 107298 / 43431
↖ ↑ ↗
← N 51.769540°
E114.702759°		 ← 189.01 m → N 51.769540°
E114.705505°		 →
↑
189.03 m
↓
↑
189.03 m
↓
N 51.767840°
E114.702759°		 ← 189.01 m →
35 728 m²		 N 51.767840°
E114.705505°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 107298 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43431 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.818622589111328 y=0.331356048583984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.818622589111328 × 217)
    floor (0.818622589111328 × 131072)
    floor (107298.5)     		tx = 107298
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.331356048583984 × 217)
    floor (0.331356048583984 × 131072)
    floor (43431.5)     		ty = 43431
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 107298 / 43431 ti = "17/107298/43431"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/107298/43431.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 107298 ÷ 217
    107298 ÷ 131072     		x = 0.818618774414062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43431 ÷ 217
    43431 ÷ 131072     		y = 0.331352233886719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.818618774414062 × 2 - 1) × π
    0.637237548828125 × 3.1415926535     		Λ = 2.00194080
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.331352233886719 × 2 - 1) × π
    0.337295532226562 × 3.1415926535     		Φ = 1.05964516610134
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.00194080} λ = 2.00194080}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.05964516610134))-π/2
    2×atan(2.88534698868266)-π/2
    2×1.23717262230909-π/2
    2.47434524461818-1.57079632675     		φ = 0.90354892
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.00194080} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 114.702759°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.90354892 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 51.769540°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 107298 KachelY 43431 2.00194080 0.90354892 114.702759 51.769540
    Oben rechts KachelX + 1 107299 KachelY 43431 2.00198874 0.90354892 114.705505 51.769540
    Unten links KachelX 107298 KachelY + 1 43432 2.00194080 0.90351925 114.702759 51.767840
    Unten rechts KachelX + 1 107299 KachelY + 1 43432 2.00198874 0.90351925 114.705505 51.767840
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.90354892-0.90351925) × R
    2.96699999999817e-05 × 6371000     		dl = 189.027569999883m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.90354892-0.90351925) × R
    2.96699999999817e-05 × 6371000     		dr = 189.027569999883m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.00194080-2.00198874) × cos(0.90354892) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.618826095037263 × 6371000     		do = 189.005418007943m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.00194080-2.00198874) × cos(0.90351925) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.618849401381119 × 6371000     		du = 189.012536365261m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.90354892)-sin(0.90351925))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.618826095037263-0.618849401381119)×R²
    abs(2.00198874-2.00194080)×2.33063438556114e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.33063438556114e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.33063438556114e-05×40589641000000     		ar = 35727.9076684075m²