Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 107298 / 100362
↖ ↑ ↗
← S 68.666549°
E114.702759°		 ← 111.11 m → S 68.666549°
E114.705505°		 →
↑
111.11 m
↓
↑
111.11 m
↓
S 68.667548°
E114.702759°		 ← 111.11 m →
12 345 m²		 S 68.667548°
E114.705505°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 107298 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 100362 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.818622589111328 y=0.765705108642578 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.818622589111328 × 217)
    floor (0.818622589111328 × 131072)
    floor (107298.5)     		tx = 107298
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.765705108642578 × 217)
    floor (0.765705108642578 × 131072)
    floor (100362.5)     		ty = 100362
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 107298 / 100362 ti = "17/107298/100362"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/107298/100362.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 107298 ÷ 217
    107298 ÷ 131072     		x = 0.818618774414062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 100362 ÷ 217
    100362 ÷ 131072     		y = 0.765701293945312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.818618774414062 × 2 - 1) × π
    0.637237548828125 × 3.1415926535     		Λ = 2.00194080
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.765701293945312 × 2 - 1) × π
    -0.531402587890625 × 3.1415926535     		Φ = -1.66945046616808
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.00194080} λ = 2.00194080}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.66945046616808))-π/2
    2×atan(0.188350542199407)-π/2
    2×0.186169479106242-π/2
    0.372338958212484-1.57079632675     		φ = -1.19845737
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.00194080} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 114.702759°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.19845737 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.666549°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 107298 KachelY 100362 2.00194080 -1.19845737 114.702759 -68.666549
    Oben rechts KachelX + 1 107299 KachelY 100362 2.00198874 -1.19845737 114.705505 -68.666549
    Unten links KachelX 107298 KachelY + 1 100363 2.00194080 -1.19847481 114.702759 -68.667548
    Unten rechts KachelX + 1 107299 KachelY + 1 100363 2.00198874 -1.19847481 114.705505 -68.667548
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.19845737--1.19847481) × R
    1.74399999999242e-05 × 6371000     		dl = 111.110239999517m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.19845737--1.19847481) × R
    1.74399999999242e-05 × 6371000     		dr = 111.110239999517m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.00194080-2.00198874) × cos(-1.19845737) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.363795114208991 × 6371000     		do = 111.112391965593m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.00194080-2.00198874) × cos(-1.19847481) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.363778869160025 × 6371000     		du = 111.107430309491m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.19845737)-sin(-1.19847481))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.363795114208991-0.363778869160025)×R²
    abs(2.00198874-2.00194080)×1.62450489663013e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.62450489663013e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.62450489663013e-05×40589641000000     		ar = 12345.4488929752m²