Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 107294 / 100366
↖ ↑ ↗
← S 68.670546°
E114.691772°		 ← 111.09 m → S 68.670546°
E114.694519°		 →
↑
111.05 m
↓
↑
111.05 m
↓
S 68.671544°
E114.691772°		 ← 111.09 m →
12 336 m²		 S 68.671544°
E114.694519°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 107294 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 100366 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.818592071533203 y=0.765735626220703 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.818592071533203 × 217)
    floor (0.818592071533203 × 131072)
    floor (107294.5)     		tx = 107294
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.765735626220703 × 217)
    floor (0.765735626220703 × 131072)
    floor (100366.5)     		ty = 100366
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 107294 / 100366 ti = "17/107294/100366"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/107294/100366.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 107294 ÷ 217
    107294 ÷ 131072     		x = 0.818588256835938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 100366 ÷ 217
    100366 ÷ 131072     		y = 0.765731811523438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.818588256835938 × 2 - 1) × π
    0.637176513671875 × 3.1415926535     		Λ = 2.00174905
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.765731811523438 × 2 - 1) × π
    -0.531463623046875 × 3.1415926535     		Φ = -1.66964221376656
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.00174905} λ = 2.00174905}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.66964221376656))-π/2
    2×atan(0.188314429897602)-π/2
    2×0.186134603801012-π/2
    0.372269207602023-1.57079632675     		φ = -1.19852712
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.00174905} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 114.691772°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.19852712 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.670546°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 107294 KachelY 100366 2.00174905 -1.19852712 114.691772 -68.670546
    Oben rechts KachelX + 1 107295 KachelY 100366 2.00179699 -1.19852712 114.694519 -68.670546
    Unten links KachelX 107294 KachelY + 1 100367 2.00174905 -1.19854455 114.691772 -68.671544
    Unten rechts KachelX + 1 107295 KachelY + 1 100367 2.00179699 -1.19854455 114.694519 -68.671544
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.19852712--1.19854455) × R
    1.7429999999985e-05 × 6371000     		dl = 111.046529999904m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.19852712--1.19854455) × R
    1.7429999999985e-05 × 6371000     		dr = 111.046529999904m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.00174905-2.00179699) × cos(-1.19852712) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.363730142664321 × 6371000     		do = 111.092547983483m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.00174905-2.00179699) × cos(-1.19854455) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.363713906487976 × 6371000     		du = 111.087589037308m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.19852712)-sin(-1.19854455))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.363730142664321-0.363713906487976)×R²
    abs(2.00179699-2.00174905)×1.62361763447749e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.62361763447749e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.62361763447749e-05×40589641000000     		ar = 12336.1666260263m²