Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 107288 / 42765
↖ ↑ ↗
← N 52.887363°
E114.675293°		 ← 184.29 m → N 52.887363°
E114.678040°		 →
↑
184.25 m
↓
↑
184.25 m
↓
N 52.885706°
E114.675293°		 ← 184.30 m →
33 956 m²		 N 52.885706°
E114.678040°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 107288 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42765 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.818546295166016 y=0.326274871826172 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.818546295166016 × 217)
    floor (0.818546295166016 × 131072)
    floor (107288.5)     		tx = 107288
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.326274871826172 × 217)
    floor (0.326274871826172 × 131072)
    floor (42765.5)     		ty = 42765
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 107288 / 42765 ti = "17/107288/42765"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/107288/42765.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 107288 ÷ 217
    107288 ÷ 131072     		x = 0.81854248046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42765 ÷ 217
    42765 ÷ 131072     		y = 0.326271057128906
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.81854248046875 × 2 - 1) × π
    0.6370849609375 × 3.1415926535     		Λ = 2.00146143
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.326271057128906 × 2 - 1) × π
    0.347457885742188 × 3.1415926535     		Φ = 1.0915711412483
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.00146143} λ = 2.00146143}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.0915711412483))-π/2
    2×atan(2.97895075014071)-π/2
    2×1.24692747398294-π/2
    2.49385494796588-1.57079632675     		φ = 0.92305862
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.00146143} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 114.675293°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.92305862 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 52.887363°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 107288 KachelY 42765 2.00146143 0.92305862 114.675293 52.887363
    Oben rechts KachelX + 1 107289 KachelY 42765 2.00150937 0.92305862 114.678040 52.887363
    Unten links KachelX 107288 KachelY + 1 42766 2.00146143 0.92302970 114.675293 52.885706
    Unten rechts KachelX + 1 107289 KachelY + 1 42766 2.00150937 0.92302970 114.678040 52.885706
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.92305862-0.92302970) × R
    2.89200000000989e-05 × 6371000     		dl = 184.24932000063m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.92305862-0.92302970) × R
    2.89200000000989e-05 × 6371000     		dr = 184.24932000063m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.00146143-2.00150937) × cos(0.92305862) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.603383883641672 × 6371000     		do = 184.288969165211m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.00146143-2.00150937) × cos(0.92302970) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.603406945668485 × 6371000     		du = 184.296012901816m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.92305862)-sin(0.92302970))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.603383883641672-0.603406945668485)×R²
    abs(2.00150937-2.00146143)×2.30620268122372e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.30620268122372e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.30620268122372e-05×40589641000000     		ar = 33955.7661565521m²