Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 107285 / 100370
↖ ↑ ↗
← S 68.674541°
E114.667053°		 ← 111.07 m → S 68.674541°
E114.669800°		 →
↑
111.05 m
↓
↑
111.05 m
↓
S 68.675540°
E114.667053°		 ← 111.07 m →
12 334 m²		 S 68.675540°
E114.669800°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 107285 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 100370 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.818523406982422 y=0.765766143798828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.818523406982422 × 217)
    floor (0.818523406982422 × 131072)
    floor (107285.5)     		tx = 107285
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.765766143798828 × 217)
    floor (0.765766143798828 × 131072)
    floor (100370.5)     		ty = 100370
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 107285 / 100370 ti = "17/107285/100370"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/107285/100370.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 107285 ÷ 217
    107285 ÷ 131072     		x = 0.818519592285156
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 100370 ÷ 217
    100370 ÷ 131072     		y = 0.765762329101562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.818519592285156 × 2 - 1) × π
    0.637039184570312 × 3.1415926535     		Λ = 2.00131762
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.765762329101562 × 2 - 1) × π
    -0.531524658203125 × 3.1415926535     		Φ = -1.66983396136504
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.00131762} λ = 2.00131762}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.66983396136504))-π/2
    2×atan(0.188278324519581)-π/2
    2×0.186099734724433-π/2
    0.372199469448866-1.57079632675     		φ = -1.19859686
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.00131762} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 114.667053°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.19859686 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.674541°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 107285 KachelY 100370 2.00131762 -1.19859686 114.667053 -68.674541
    Oben rechts KachelX + 1 107286 KachelY 100370 2.00136556 -1.19859686 114.669800 -68.674541
    Unten links KachelX 107285 KachelY + 1 100371 2.00131762 -1.19861429 114.667053 -68.675540
    Unten rechts KachelX + 1 107286 KachelY + 1 100371 2.00136556 -1.19861429 114.669800 -68.675540
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.19859686--1.19861429) × R
    1.7429999999985e-05 × 6371000     		dl = 111.046529999904m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.19859686--1.19861429) × R
    1.7429999999985e-05 × 6371000     		dr = 111.046529999904m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.00131762-2.00136556) × cos(-1.19859686) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.363665178665379 × 6371000     		do = 111.072706306033m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.00131762-2.00136556) × cos(-1.19861429) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.363648942046944 × 6371000     		du = 111.067747224832m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.19859686)-sin(-1.19861429))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.363665178665379-0.363648942046944)×R²
    abs(2.00136556-2.00131762)×1.62366184342511e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.62366184342511e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.62366184342511e-05×40589641000000     		ar = 12333.9632689035m²