Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 107285 / 100367
↖ ↑ ↗
← S 68.671544°
E114.667053°		 ← 111.09 m → S 68.671544°
E114.669800°		 →
↑
111.11 m
↓
↑
111.11 m
↓
S 68.672544°
E114.667053°		 ← 111.08 m →
12 343 m²		 S 68.672544°
E114.669800°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 107285 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 100367 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.818523406982422 y=0.765743255615234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.818523406982422 × 217)
    floor (0.818523406982422 × 131072)
    floor (107285.5)     		tx = 107285
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.765743255615234 × 217)
    floor (0.765743255615234 × 131072)
    floor (100367.5)     		ty = 100367
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 107285 / 100367 ti = "17/107285/100367"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/107285/100367.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 107285 ÷ 217
    107285 ÷ 131072     		x = 0.818519592285156
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 100367 ÷ 217
    100367 ÷ 131072     		y = 0.765739440917969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.818519592285156 × 2 - 1) × π
    0.637039184570312 × 3.1415926535     		Λ = 2.00131762
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.765739440917969 × 2 - 1) × π
    -0.531478881835938 × 3.1415926535     		Φ = -1.66969015066618
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.00131762} λ = 2.00131762}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.66969015066618))-π/2
    2×atan(0.188305402904044)-π/2
    2×0.186125885947968-π/2
    0.372251771895935-1.57079632675     		φ = -1.19854455
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.00131762} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 114.667053°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.19854455 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.671544°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 107285 KachelY 100367 2.00131762 -1.19854455 114.667053 -68.671544
    Oben rechts KachelX + 1 107286 KachelY 100367 2.00136556 -1.19854455 114.669800 -68.671544
    Unten links KachelX 107285 KachelY + 1 100368 2.00131762 -1.19856199 114.667053 -68.672544
    Unten rechts KachelX + 1 107286 KachelY + 1 100368 2.00136556 -1.19856199 114.669800 -68.672544
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.19854455--1.19856199) × R
    1.74399999999242e-05 × 6371000     		dl = 111.110239999517m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.19854455--1.19856199) × R
    1.74399999999242e-05 × 6371000     		dr = 111.110239999517m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.00131762-2.00136556) × cos(-1.19854455) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.363713906487976 × 6371000     		do = 111.087589037308m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.00131762-2.00136556) × cos(-1.19856199) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.363697660885963 × 6371000     		du = 111.082627212291m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.19854455)-sin(-1.19856199))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.363713906487976-0.363697660885963)×R²
    abs(2.00136556-2.00131762)×1.62456020132984e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.62456020132984e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.62456020132984e-05×40589641000000     		ar = 12342.6930243554m²