Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 107283 / 43600
↖ ↑ ↗
← N 51.481383°
E114.661560°		 ← 190.21 m → N 51.481383°
E114.664307°		 →
↑
190.24 m
↓
↑
190.24 m
↓
N 51.479672°
E114.661560°		 ← 190.22 m →
36 186 m²		 N 51.479672°
E114.664307°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 107283 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43600 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.818508148193359 y=0.332645416259766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.818508148193359 × 217)
    floor (0.818508148193359 × 131072)
    floor (107283.5)     		tx = 107283
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.332645416259766 × 217)
    floor (0.332645416259766 × 131072)
    floor (43600.5)     		ty = 43600
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 107283 / 43600 ti = "17/107283/43600"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/107283/43600.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 107283 ÷ 217
    107283 ÷ 131072     		x = 0.818504333496094
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43600 ÷ 217
    43600 ÷ 131072     		y = 0.3326416015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.818504333496094 × 2 - 1) × π
    0.637008666992188 × 3.1415926535     		Λ = 2.00122175
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3326416015625 × 2 - 1) × π
    0.334716796875 × 3.1415926535     		Φ = 1.05154383006555
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.00122175} λ = 2.00122175}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.05154383006555))-π/2
    2×atan(2.8620662530082)-π/2
    2×1.23465798089652-π/2
    2.46931596179303-1.57079632675     		φ = 0.89851964
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.00122175} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 114.661560°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.89851964 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 51.481383°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 107283 KachelY 43600 2.00122175 0.89851964 114.661560 51.481383
    Oben rechts KachelX + 1 107284 KachelY 43600 2.00126969 0.89851964 114.664307 51.481383
    Unten links KachelX 107283 KachelY + 1 43601 2.00122175 0.89848978 114.661560 51.479672
    Unten rechts KachelX + 1 107284 KachelY + 1 43601 2.00126969 0.89848978 114.664307 51.479672
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.89851964-0.89848978) × R
    2.98599999999372e-05 × 6371000     		dl = 190.2380599996m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.89851964-0.89848978) × R
    2.98599999999372e-05 × 6371000     		dr = 190.2380599996m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.00122175-2.00126969) × cos(0.89851964) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.622768892552714 × 6371000     		do = 190.209649856769m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.00122175-2.00126969) × cos(0.89848978) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.622792254913609 × 6371000     		du = 190.216785323133m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.89851964)-sin(0.89848978))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.622768892552714-0.622792254913609)×R²
    abs(2.00126969-2.00122175)×2.33623608950628e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.33623608950628e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.33623608950628e-05×40589641000000     		ar = 36185.7935032298m²