Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 107283 / 100377
↖ ↑ ↗
← S 68.681532°
E114.661560°		 ← 111.04 m → S 68.681532°
E114.664307°		 →
↑
111.05 m
↓
↑
111.05 m
↓
S 68.682531°
E114.661560°		 ← 111.03 m →
12 330 m²		 S 68.682531°
E114.664307°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 107283 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 100377 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.818508148193359 y=0.765819549560547 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.818508148193359 × 217)
    floor (0.818508148193359 × 131072)
    floor (107283.5)     		tx = 107283
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.765819549560547 × 217)
    floor (0.765819549560547 × 131072)
    floor (100377.5)     		ty = 100377
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 107283 / 100377 ti = "17/107283/100377"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/107283/100377.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 107283 ÷ 217
    107283 ÷ 131072     		x = 0.818504333496094
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 100377 ÷ 217
    100377 ÷ 131072     		y = 0.765815734863281
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.818504333496094 × 2 - 1) × π
    0.637008666992188 × 3.1415926535     		Λ = 2.00122175
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.765815734863281 × 2 - 1) × π
    -0.531631469726562 × 3.1415926535     		Φ = -1.67016951966238
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.00122175} λ = 2.00122175}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.67016951966238))-π/2
    2×atan(0.188215156764404)-π/2
    2×0.186038728825278-π/2
    0.372077457650556-1.57079632675     		φ = -1.19871887
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.00122175} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 114.661560°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.19871887 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.681532°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 107283 KachelY 100377 2.00122175 -1.19871887 114.661560 -68.681532
    Oben rechts KachelX + 1 107284 KachelY 100377 2.00126969 -1.19871887 114.664307 -68.681532
    Unten links KachelX 107283 KachelY + 1 100378 2.00122175 -1.19873630 114.661560 -68.682531
    Unten rechts KachelX + 1 107284 KachelY + 1 100378 2.00126969 -1.19873630 114.664307 -68.682531
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.19871887--1.19873630) × R
    1.7429999999985e-05 × 6371000     		dl = 111.046529999904m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.19871887--1.19873630) × R
    1.7429999999985e-05 × 6371000     		dr = 111.046529999904m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.00122175-2.00126969) × cos(-1.19871887) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.363551520016467 × 6371000     		do = 111.037992029081m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.00122175-2.00126969) × cos(-1.19873630) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.363535282624788 × 6371000     		du = 111.033032711712m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.19871887)-sin(-1.19873630))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.363551520016467-0.363535282624788)×R²
    abs(2.00126969-2.00122175)×1.62373916789416e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.62373916789416e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.62373916789416e-05×40589641000000     		ar = 12330.1083558331m²