Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 107282 / 100378
↖ ↑ ↗
← S 68.682531°
E114.658813°		 ← 111.03 m → S 68.682531°
E114.661560°		 →
↑
110.98 m
↓
↑
110.98 m
↓
S 68.683529°
E114.658813°		 ← 111.03 m →
12 322 m²		 S 68.683529°
E114.661560°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 107282 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 100378 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.818500518798828 y=0.765827178955078 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.818500518798828 × 217)
    floor (0.818500518798828 × 131072)
    floor (107282.5)     		tx = 107282
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.765827178955078 × 217)
    floor (0.765827178955078 × 131072)
    floor (100378.5)     		ty = 100378
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 107282 / 100378 ti = "17/107282/100378"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/107282/100378.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 107282 ÷ 217
    107282 ÷ 131072     		x = 0.818496704101562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 100378 ÷ 217
    100378 ÷ 131072     		y = 0.765823364257812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.818496704101562 × 2 - 1) × π
    0.636993408203125 × 3.1415926535     		Λ = 2.00117381
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.765823364257812 × 2 - 1) × π
    -0.531646728515625 × 3.1415926535     		Φ = -1.670217456562
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.00117381} λ = 2.00117381}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.670217456562))-π/2
    2×atan(0.188206134529577)-π/2
    2×0.18603001525346-π/2
    0.37206003050692-1.57079632675     		φ = -1.19873630
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.00117381} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 114.658813°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.19873630 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.682531°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 107282 KachelY 100378 2.00117381 -1.19873630 114.658813 -68.682531
    Oben rechts KachelX + 1 107283 KachelY 100378 2.00122175 -1.19873630 114.661560 -68.682531
    Unten links KachelX 107282 KachelY + 1 100379 2.00117381 -1.19875372 114.658813 -68.683529
    Unten rechts KachelX + 1 107283 KachelY + 1 100379 2.00122175 -1.19875372 114.661560 -68.683529
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.19873630--1.19875372) × R
    1.74200000000457e-05 × 6371000     		dl = 110.982820000291m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.19873630--1.19875372) × R
    1.74200000000457e-05 × 6371000     		dr = 110.982820000291m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.00117381-2.00122175) × cos(-1.19873630) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.363535282624788 × 6371000     		do = 111.033032711712m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.00117381-2.00122175) × cos(-1.19875372) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.363519054438532 × 6371000     		du = 111.028076205916m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.19873630)-sin(-1.19875372))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.363535282624788-0.363519054438532)×R²
    abs(2.00122175-2.00117381)×1.6228186255185e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.6228186255185e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.6228186255185e-05×40589641000000     		ar = 12322.4840403225m²